Oppervlakte van sin+cos

Ik had een vraagje. Er is gegeven de functie f(x)= sin(x)+cos(x) met domein (0,$\pi$) het vlakdeel v wordt ingesloten door de grafiek van f, de xas en de y-as. Nou is de vraag om exact de oppervlakte te berekenen van f.

Ik snap hierbij wel dat je dan sin(x)+cos(x)=0 om het snijpunt te bereken met de x-as, alleen kom ik er niet heel ver mee. Mijn vraag is hoe los je sin(x)+cos(x)=0 op?

Ik hoor heel graag van u en alvast bedankt!

Nina
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 3 juni 2017

Antwoord

Hallo Nina,

Schrijf eerst bijvoorbeeld je sinus om naar een cosinus, je krijgt dan iets van de vorm:
$$\cos(x)=\cos(a).$$Hieruit volgt dan:
$$x=a\pm 2k\pi$$met $k=0,1,2,...$ (omdat de cosinus een periode heeft van 2$\pi$).

In jouw geval heb je dus:
$$\sin(x)+\cos(x)=0$$ $$\cos(x)=-\sin(x)$$ $$\cos(x)=\cos\left(-x-\frac{1}{2}\pi\right)$$De eerder genoemde regel toepassen geeft dan:
$$x=-x-\frac{1}{2}\pi+2k\pi$$ $$2x=2k\pi-\frac{1}{2}\pi$$ $$x=k\pi-\frac{1}{4}\pi.$$Er zijn echter ook nog andere manieren om op het antwoord te komen. Bijvoorbeeld door:
$$\sin(x)+\cos(x)=0$$ $$\sin(x)=-\cos(x)$$Nu mag je delen door $\cos(x)$, omdat $x=0$ geen oplossing geeft, dus $\cos(x)\not=0$:$$\tan(x)=-1.$$Als je nu de functie van de tangens goed kent krijg je wederom:$$x=k\pi-\frac{1}{4}\pi.$$

MvE
zaterdag 3 juni 2017

Re: Oppervlakte van sin cos

©2001-2024 WisFaq