\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Oplossen van een vergelijking

Ik zou al heel erg geholpen zijn wanneer er een oplossing zou bestaan voor de volgende vergelijking (Maple notatie):

1-1/136080000*exp(-lambda*t)*lambda^10*t^10-1/4536000*exp(-lambda*t)*lambda^9*t^9-1/252000*exp(-lambda*t)*lambda^8*t^8-1/18900*exp(-lambda*t)*lambda^7*t^7-1/1800*exp(-lambda*t)*lambda^6*t^6-43/9000*exp(-lambda*t)*lambda^5*t^5-3/100*exp(-lambda*t)*lambda^4*t^4-7/50*exp(-lambda*t)*lambda^3*t^3-7/15*exp(-lambda*t)*lambda^2*t^2-exp(-lambda*t)*lambda*t-exp(-lambda*t)=x

Het gaat om een oplossing voor t met 0 $<$ lambda. Alleen oplossingen voot 0 $<$ t tellen.

Ad van
Docent - zondag 9 oktober 2016

Antwoord

We kunnen het linkerlid schrijven als $g(\lambda t)$, waarbij
$$
g(u)= 1-e^{-u}\left(\frac1{136080000}u^{10}+\frac1{4536000}u^9+\frac1{252000}u^8+\frac1{18900}u^7+\frac1{1800}u^6+\frac{43}{9000}u^5+\frac3{100}u^4+\frac7{50}u^3+\frac7{15}u^2+u+1\right)
$$
Aangezien $\lambda$ en $t$ positief moeten zijn is $u$ dat ook.
Met behulp van Maple is snel in te zien dat $g'(u)$>$0$ voor positieve $u$; verder geldt $g(0)=0$ en $\lim_{u\to\infty}g(u)=1$. De vergelijking heeft dus voor elke $x$ in het interval $[0,1)$ (en alleen die) precies één oplossing.

kphart
zondag 9 oktober 2016

 Re: Oplossen van een vergelijking 
 Re: Oplossen van een vergelijking 

©2001-2024 WisFaq