Functie op Q

Waarom is de volgende functie lokaal strikt stijgend en globaal NIET strikt stijgend?
f(x) = x met x \in \mathbb{Q} met x < \sqrt{2}
f(x) = x - 2 x \in \mathbb{Q} met x > \sqrt{2}

Ik heb dit proberen te tekenen, maar zie het niet in...
Bedankt!

Julie
Student universiteit - dinsdag 12 januari 2016

Antwoord

Hallo Julie,

Duidelijk is dat bijvoorbeeld f(2)=0 en f(1)=1. Dus de functie is niet globaal strikt stijgend.

Omdat \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} is f(x) keurig gedefinieerd voor alle x \in \mathbb{Q}. Maar de voorwaarden x<\sqrt{2} en x>\sqrt{2} verdeelt \mathbb{Q} ook in twee open intervallen.

En voor open intervallen geldt dat er bij elk element y een open intervalletje \langle y-\epsilon, y+\epsilon\rangle bestaat dat een deelinterval is van het open interval.

Omdat f(x)=x en f(x)=x-2 strikt stijgend zijn is de gecombineerde functie dat voor elke x lokaal ook, omdat je een dus bij elke x een open interval kunt vinden zodat je bij ofwel x ofwel x+2 blijft.

Ik vind zelf overigens g(x)=tan(x) een sprekender voorbeeld van een lokaal wel, maar globaal niet strikt stijgende functie op \mathbb{Q} (maar dat is geen functie van \mathbb{Q} naar \mathbb{Q}, maar naar \mathbb{R}).

Met vriendelijke groet,

dinsdag 12 januari 2016

©2001-2025 WisFaq