Re: Drie vergelijkingen met coefficienten oplossen

Dit is een reactie op vraag 76597

Ok na een tijdje puzzelen en narekenen zullen we de vraag iets anders stellen.
We hebben te maken met drie vergelijkingen in de vorm:

c_13 L³ + c_12 L² + c_11 L + c_10 = 0
c_23 L³ + c_22 L² + c_21 L + c_20 = 0
c_33 L³ + c_32 L² + c_31 L + c_30 = 0

In dit stelsel is L bekend maar de coëfficiënten niet. Die willen we graag oplossen zodat we de feitelijke onbekende a, b en c uit te rekenen zijn die nu als het ware verstopt zitten in de coëfficiënten c.
De vraag is hoe kunnen wij deze drie vergelijkingen met de drie onbekenden a,b en c oplossen analytisch?
Welke methode moeten wij nou gebruiken?

L³ L² L -
----------------------------------------------------------
vgl I c13 c12 c11 c10
vgl II c23 c22 c21 c20
vgl I II c33 c32 c31 c30

waarin a,b en c als volgt zitten verwerkt en die wij willen bepalen:

----------------------------------------------------------
vgl I 0 1 b/a (c-p1)/a
vgl II 1 4*b/(3*a) 2*(c-p3*p1)/a 4*p2*(1-p3)/a
vgl III 1 b/(a*p4) c/(a*p4²) (p2-p5)/(a*p4³)
----------------------------------------------------------

Studen
Student hbo - vrijdag 23 oktober 2015

Antwoord

Je kunt alle vergelijkingen met $a$ vermenigvuldigen, en de derde met $p_4^3$. Dan krijg je
$al^2+bL+C=p_1$
$3aL^3+4bL^2+6cL=p_1p_2L+4p_2(p_3-p_1)$
$a(p_4L)^3+b(p_4L)^2+c(p_4L)=p_5-p_2$
Dat is een stelsel van drie lineaire vergelijkingen met drie onbekenden ($a$, $b$ en $c$) en de $p_i$ als parameters(?).
Je kunt het stelsel oplossen door elimineren of door de regel van Cramer te gebruiken; die kan hier nog te goed dienst doen om `mooie' uitdrukkingen voor $a$, $b$ en $c$ te geven.

Zie Wikipedia: regel van Cramer

kphart
maandag 26 oktober 2015

©2001-2024 WisFaq