Volledigheid van een metriek aantonen

Gevraagd wordt het volgende:

Zij c de verzameling van alle rijtjes x = (x(1),x(2),...) met x(n) element van de reele getallen voor alle n, waarvoor lim x(n) gaat naar 0 vor n naar oneindig.
Voor x=x(n) en y=y(n) in c definieren we d(x,y) = sup {|x(n)-y(n)|}.
Verder is gegeven dat d een metriek op c is.
Bewijs dat c volledig is met deze metriek.

Probleem is dat ik niet precies snap wat hier gevraagd wordt. Volledigheid betekent dat elke cauchy rij ook convergent is. In dit geval willen we dus volgens mij aantonen dat elke rij in c die cauchy is, ook convergent is. Maar gegeven is dat limiet van x(n) naar 0 gaat voor n naar oneindig, dus x(n) is convergent. Maar als x(n) convergent is, is deze zeker cauchy en zijn we klaar. Volgens mij is dit echter niet de juiste manier. Ik weet vooral niet wat ik aanmoet met "bewijs dat c volledig is OP DEZE METRIEK". Wat willen ze hier precies dat ik aantoon en hoe moet ik die metriek hierin gebruiken?

Donald
Student universiteit - dinsdag 5 mei 2015

Antwoord

Belangrijk: elk punt in $c_0$ is zelf een rijtje (denk aan een vector met oneindig veel coordinaten). Elke term van een rij $\langle x_n\rangle_n$ in $c_0$ is dus zelf een rij: $x_n=(x_n(1),x_n(2),\ldots)$.
Denk nu aan het bewijs dat elke $\mathbb{R}^k$ volledig is: gegeven een Cauchy-rij $\langle x_n\rangle_n$ in $c_0$ bewijs dat voor iedere individuele $i$ de rij $\bigl\langle x_n(i)\bigr\rangle_n$ Cauchy is in $\mathbb{R}$ (en dus convergent) en bewijs dan dat de rij limieten een punt in $c_0$ is en dat dat punt de limiet van $\langle x_n\rangle_n$ is ten opzichte van $d$.

kphart
dinsdag 5 mei 2015

©2001-2024 WisFaq