\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Algebra

Hallo,

Ik weet niet hoe je kan aantonen dat wanneer f:R$\to$S een morfisme is van ringen en R,+,. een lichaam is, dat f dan injectief is...
We spreken van een lichaam wanneer R,+,. een ring is en R\{0},. een groep is.
Ik denk dat je dus moet aantonen dat wanneer f niet injectief zou zijn, niet elk element nog een inverse zou hebben.
Jammer genoeg lukt het maar niet dit aan te tonen..

Jolien
Student universiteit BelgiŽ - woensdag 5 november 2014

Antwoord

Er zijn twee mogelijkheden: $f$ is injectief of constant $0$.
Het punt is dat de kern van $f$ een ideaal is. Een lichaam heeft maar twee idealen: $\{0\}$ of $R$. Bewijs: stel $I$ is een ideaal en $I\neq\{0\}$; neem dus $x\in I$ met $x\neq0$. Dan geldt $xy\in I$ voor alle $y$, in het bijzonder $xx^{-1}\in I$, ofwel $1\in I$. Maar dan $y=1y\in I$ voor alle $y\in R$.

kphart
woensdag 5 november 2014

©2001-2021 WisFaq