DV

een vraagstuk waarin ik een fout heb die ik kan vinden

In de landbouw tracht men de oogstopbrengst van een akker te vergroten door het toevoegen van meststoffen.
De grootte van de oogst (y) zal afhangen van de hoeveelheid toegevoegde meststoffen (x).
Er zal echter nooit meer dan een bepaalde maximale oogst, de zg. grensoogst Y, behaald kunnen worden. Men gebruikt in de landbouw dan ook het volgende model:

als er meer mest wordt toegevoegd, is de toename van de oogst recht evenredig met de hoeveelheid extra toegevoegde meststof en tevens recht evenredig met het verschil tussen de grensoogst en de reeds bereikte oogst.

a. Stel een differentiaalvergelijking op voor de functie y(x) en los deze vergelijking op.
b. In 1980 is de oogst (zonder gebruik van mest) 3600 kg/ha.
In 1981 strooit men een bepaalde hoeveelheid mest uit, de oogst is dan 4200 kg/ha.
In 1982 strooit men tweemaal zoveel mest als in 1981, de oogst is dan 4360 kg/ha.
Bereken de grensoogst Y.

antw.
a. dy/dx = k(Y - y) met k$>$0;

1/(y0 - y)dy = kdx
intrgraal1/(y0 - y)dy = integraal kdx
-ln(y0 - y) = kx + C1
ln(y0 - y) = -kx + C2
y0 - y = e^(-kx + C2)
y = y0 + Ce^(-kx)

antw klopt met het antw.boek y(x) = Y + Ce^(-kx)

b.
y(0)= 3600
y(1)= 3600 + Ce^(-k)= 4200
y(2)= 3600 + Ce^(-2k)= 4360

Ce^(-k)= 600
Ce^(-2k)= 760

op elkaar delen geeft
{e^(-k)}/{e^(-2k)}= 600/760
e^k)= 15/19
k = ln(15/19)

Ce^(-ln(15/19)= 600
Ce^(ln(19/15)= 600
C(19/15)= 600
C = 600*(15/19)

dat geeft de formule
y(x) = 3600 + 600*(15/19)*e^(-kx)

Om de grensoogst te bepalen gaat x naar oneindig
hierdoor wordt de e-macht gelijk 0

3600 + 600*(15/19)

het antw. boek geeft 3600 + 600*(15/11) = 4418,2kg/ha

doe ik iets fout of is het antw.boek fout?

Rob Wo
Docent - maandag 11 november 2013

Antwoord

Beste Rob,

Deze vergelijkingen kloppen niet:
y(1)= 3600 + Ce^-k= 4200
y(2)= 3600 + Ce^-2k= 4360

Je hebt de waarde 3600 ingevuld op de plaats van de grensoogst Y. De juiste vergelijkingen zijn:

y(0)= Y + C = 3600
y(1)= Y + Ce^-k= 4200
y(2)= Y + Ce^-2k= 4360

Drie vergelijkingen met drie onbekenden (Y, C en k). Wanneer je C en k elimineert, vind je inderdaad Y=4418²/₁₁ = 4418,2

maandag 11 november 2013

©2001-2024 WisFaq