\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Vergelijking van een vlak

Gegeven zijn het vlak $\alpha\leftrightarrow y+3z+2=0$, de rechte $m\leftrightarrow\begin{cases}x-4y+1=0\\y-z+2=0\end{cases}$ en het punt $A(1,2,0)$
l is de rechte door A die evenwijdig is met $\alpha$ en loodrecht staat op m.
Gevraagd is de cartesiaanse vgl. van 2 vlakken $\beta$ en $\gamma$ die l omvatten.

Ik heb reeds een vlak gevonden dat evenwijdig is aan $\alpha$.

Nu, om een vlak te vinden loodrecht op $\alpha$:
Noem A' de loodrechte projectie van A op m.
Door m om te vormen van cart. vgl. naar parametervoorstelling, kan A' voorgesteld worden door A'(...). En omdat AA' loodrecht staat op m, geldt:
$\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{m}=0$
$\Leftrightarrow 18r-8=0$
AA' staat ook loodrecht op de normaal van alpha:
$\Leftrightarrow 4r+4=0$
In 1 stelsel:
$18r-8=4r+4\Leftrightarrow r=\frac{6}{7}$
$\Rightarrow\overrightarrow{AA'}(\frac{10}{7};-\frac{8}{8};\frac{20}{7})\sim (5,-4,10)$

Dit is een richtingsvector van gamma; ook de normaal van alpha is een richtingsvector van gamma:
$\gamma\leftrightarrow\begin{cases}x=1+5t\\y=2+s-4t\\z=3s+10t\end{cases}$

Door om te vormen bekom ik voor gamma:
$\gamma\leftrightarrow 22x+15y-5z-52=0$

Klopt dit?

Michae
3de graad ASO - zondag 9 juni 2013

Antwoord

Wanneer je eenmaal lijn l gevonden hebt, is het vinden van 2 vlakken door lijn l niet moeilijk meer. Door een lijn gaan immers oneindig veel vlakken, dus twee ervan vinden moet lukken.
Maar is de manier waarop je lijn l beschrijft wel juist?
Lijn l moet door A gaan en evenwijdig zijn aan vlak alfa.
Dan ligt l dus in het vlak door A dat evenwijdig aan alfa is. Dit vlak is natuurlijk zo gevonden.
Maar lijn m ligt niet in dit vlak en staat er ook niet loodrecht op. Als ik dus in het genoemde vlak blijf, kom ik nooit loodrecht op m te staan.
Bovendien schrijf je dat je DE lijn l zoekt, dus kennelijk is er één lijn l die voldoet.
Maar gezien het bovenstaande is zo'n lijn l er helemaal niet.
Overigens heb ik voor lijn m de volgende vectorvoorstelling gebruikt:
(x,y,z) = (-1,0,2) + t(4,1,1)
Klopt de ingestuurde opgave dus wel helemaal met de te maken opgave?
En stuur liever niet iets in LaTex want dat moet eerst omgezet worden in iets leesbaars

MBL
zondag 9 juni 2013

©2001-2021 WisFaq