Analyse substitutie (integratie)

Hallo iedereen,
Ik ben een student aan Group T in Leuven.
Bij het vak analyse zien we momenteel integralen aan een snel tempo en ik merk dat mijn kennis van het middelbaar te beperkt is om alles te kunnen volgen en heb daarom vragen over enkele integratie oefeningen met substitutie die de prof in zijn handboek heeft gezet. Hij maakt hier namelijk geen gebruik van de methode door te noteren t = ...... maar laat dit weg en vraag me toch een en ander af bij bepaalde stukken.

http://www.scribd.com/doc/130773533/analyse-coursebook

Dit is de link naar de site waar ik de pagina van mijn handboek heb geupload, omdat het redelijk lange oplossingen zijn...

- bij integraal nummer 3 is mijn vraag hoe dat hij namelijk komt aan de d(-1/x) omdat na enig rekenwerk erin gestopt te hebben ik dit niet uitkom
- integraal nummer 4 en 5 snap ik nog de eerste stap is aangeduid met een 1, omdat hij de opgave herschrijft met de formules van Carnot, maar daarna heb ik geen flauw idee hoe hij aan de rest komt
- integraal nummer 6 snap ik niet waarom hij de sin x = 2 sin (x/2)cos (x/2) gaat herschrijven net naar die vorm.

Brayen
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 16 maart 2013

Antwoord

Bij integraal (3) gebruikt hij de substitutie t = -1/x omdat hij gewoon 'ziet' of herkent dat dan dt = 1/x².dx en dat is precies je noemer.
Dat is uiteraard zo in elkaar gezet. Als je noemer bijv. x³ zou zijn, dan werkt dit niet.

Bij de integralen (4) en (5) moet hij van dat kwadraat zien af te komen. Zoek in elk geval niet je heil in iets als ¹/₃sin³(x) want als dit gedifferentieerd wordt, krijg je de kettingregel over je heen en komt er een extra factor cos(x) om de hoek kijken.
De truc om dit te vermijden zit in de formules cos(2x) = 1 - 2sin²(x) maar ook cos(2x) = 2cos²(x) - 1.
Als je bijv. van de eerste van deze formules maakt
sin²(x) = ¹/₂ - ¹/₂cos(2x), dan is de integratie ineens probleemloos en nummer (4) opgelost.
Voor nummer (5) neem je de tweede formule en maakt cos²(x) vrij.

Bij (6) moet je eens beginnen te kijken naar tan(¹/₂x) + 1/tan(¹/₂x).
Maak dat eens gelijknamig en zie hoe je integrand langzamerhand in beeld komt.
Gonio-integralen zijn vaak erg weerbarstig en deze aanpak verzin je natuurlijk niet zomaar op eigen kracht. Je kunt na afloop hoogstens constateren dat het werkt en het daarna als middel proberen in te zetten in soortgelijke gevallen.

MBL
zondag 17 maart 2013

Re: Analyse substitutie (integratie)

©2001-2024 WisFaq