\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Partiëel integreren voor gevorderden...

sorry maar zou het geven da'k nog een vraagje stel over partiëel integreren want 'k heb het echt nog niet door
volgende week overhoring , en 'k kom nog geregeld oefeningen tegen , .... die ik echt nie zie zitten

hier gaan we dan , hopelijk wil er iemand mij hier nog mee helpe ... ( alvast bedankt )

integreer : (x+sin(x))/(1+cos(x))
en

integreer : (x)*(e^x)*(sin(x))

alvast bedankt, 'k vermoed dat ik het principe nog niet echt doorheb .

benjamin

benjam
3de graad ASO - zaterdag 25 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Dit zijn dan ook twee kanjers van integralen… Je hoeft je zeker niet te schamen als je deze niet in één, twee, drie opgelost hebt… Deze integralen zijn dan ook niet echt goede voorbeelden om na te gaan of je het principe van partieel integreren doorhebt.

eerste integraal
Op het eerst zicht dacht ik dat je Int((1+cos(x))/(x+sin(x)).dx) bedoelde…
Dan hebben we:
Int((1+cos(x))/(x+sin(x)).dx)=
Int((x+sin(x)).d(x+sin(x)))=
Int(d(ln(x+sin(x))))=
ln(x+sin(x))+c….

Maar bij nader toezien was dit niet wat je vroeg…
Int((x+sin(x))/(1+cos(x)).dx)=
Int((x+2.sin(x/2).cos(x/2))/(2.cos2(x/2)).dx)=
1/2.Int(x/cos2(x/2)).dx)+Int(sin(x/2)/cos(x/2).dx)=
Int(x/cos2(x/2)).d(x/2))+Int(tg(x/2).dx)=
Int(x.d(tg(x/2)))+Int(tg(x/2).dx)=
x.tg(x/2)-Int(tg(x/2).dx)+Int(tg(x/2).dx)=
x.tg(x/2)+c

Narekenen levert inderdaad: d/dx(x.tg(x/2)+c)= (x+sin(x))/(1+cos(x))…

tweede integraal
I1=
Int(x.exp(x).sin(x).dx)=
Int(x.sin(x).d(exp(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).d(x.sin(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).(1.sin(x)+x.cos(x)).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- Int(x.exp(x).cos(x).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- Int(x.cos(x).d(exp(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- [x.cos(x).exp(x)-Int(exp(x).d(x.cos(x)))]=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- x.cos(x).exp(x)+Int(exp(x).(1.cos(x)-x.sin(x)).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- x.cos(x).exp(x)+Int(exp(x).cos(x).dx)-Int(x.exp(x).sin(x).dx)=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-I2+ I3- I1

Een van de integralen hierin is
I2=
Int(exp(x).sin(x).dx)=
Int(sin(x).d(exp(x)))=
sin(x).exp(x)-Int(exp(x).d(sin(x)))=
sin(x).exp(x)-Int(exp(x).cos(x).dx)=
sin(x).exp(x)-Int(cos(x).d(exp(x)))=
sin(x).exp(x)-[cos(x).exp(x)-Int(exp(x).d(cos(x)))] =
sin(x).exp(x)-cos(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx) =
exp(x).(sin(x)-cos(x))-I2

zodat
I2= Int(exp(x).sin(x).dx)=exp(x).(sin(x)-cos(x))/2+c

Je rekent zelf na dat
I3=Int(exp(x).cos(x).dx)= exp(x).(sin(x)+cos(x))/2+c

We hebben dus dat:
2.I1=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-I2+ I3=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-exp(x).(sin(x)-cos(x))/2+exp(x).(sin(x)+cos(x))/2+c=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))+exp(x).cos(x)+c=
exp(x).[x.sin(x)+(1-x).cos(x)]+c

zodat
I1= exp(x).[x.sin(x)+(1-x).cos(x)]/2+c

Narekenen levert inderdaad dat d/dx(I1)= x.exp(x).sin(x)

(Voor de volledigheid heb ik integratieconstanten toegevoegd… bij partieel integreren heb ik het 'pivotstukje' vetjes gezet...)

Groetjes,
Johan

andros
maandag 27 januari 2003

©2001-2024 WisFaq