Derdegraads vergelijkingen

In onze practische opdracht wordt gezegd dat je alle derdegraads vergelijkingen kunt ombouwen tot een type vergelijking die in de formule van Cardano kan worden gevoerd. Een type zoals x³+mx=n
Hoe kun je een type zoals ax³+bx²+cx+d ombouwen tot het type van Cardano??
Wij komen hier niet uit, alvast bedankt.
Jack en Dick

Jack K
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 22 januari 2003

Antwoord

Beste Jack,
Het is een hele klus, maar mogelijk.
Je hebt dus een vergelijking van de vorm:
ax³+bx²+cx+d=0
Begin met het definieren van een nieuwe variabele y:
y = x + b/(3a)
Ofwel:
x = y - b/(3a)
Als je dit nu invult in de vergelijking krijg je dus:
a(y - b/(3a))³+b(y - b/(3a))²+c(y - b/(3a))+d=0
Na veel rekenwerk (haakjes wegwerken en vereenvoudigen), is dit te herleiden naar:
ay³+(c-(b²/(27a²)))y+2b³/(27a²)-cb/(3a)+d=0
Door nu alles te delen door a, houd je dan over:
y³+((c-(b²/(27a²)))/a)y+(2b³/(27a²)-cb/(3a)+d)/a=0
Neem nu:
p = ((c-(b²/(27a²)))/a)
q = (2b³/(27a²)-cb/(3a)+d)/a
Dan blijft er dus over:
y³+py+q=0
Hopelijk is zo je vraag voldoende beantwoord.

M.v.g.

woensdag 22 januari 2003

©2001-2024 WisFaq