Laplacetransformatie onbepaalde coëfficienten

Als je de functie
ty'' +(2t-2)y' -2y=e^-2t gekregen hebt.
En men vraagt je om aan te tonen dat de Laplace getransformeerde (s²+2s)Y'(s)+(4s+4)Y(s)=-1/(s+2) is.

Hoe doe je dat dan?

Lot
Student universiteit België - maandag 6 augustus 2012

Antwoord

Beste Lot,

Je hebt wellicht een aantal eigenschappen van de Laplacetransformatie gezien? Hiervoor heb je onder andere nodig dat:$$\mathcal{L} \left\{ e^{kt} \right\} = \frac{1}{s-k}$$ $$\mathcal{L} \left\{ t f(t) \right\} = -F'(s)$$ $$\mathcal{L} \left\{ y'(t) \right\} = s Y(s) - y(0)$$ $$\mathcal{L} \left\{ y''(t) \right\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$$Aangezien je geen beginvoorwaarden vermeldt, veronderstel ik dat deze telkens 0 zijn. In dat geval neem je als volgt dat Laplacegetransformeerde van beide leden van de differentiaalvergelijking:
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \mathcal{L} \left\{ ty'' +(2t-2)y' -2y \right\} & = & \displaystyle \mathcal{L} \left\{ e^{-2t} \right\}\\[7pt]
\displaystyle \mathcal{L} \left\{ ty''\right\} + 2 \mathcal{L} \left\{ty'\right\}-2\mathcal{L} \left\{y'\right\} -2\mathcal{L} \left\{y \right\} & = &\displaystyle \mathcal{L} \left\{ e^{-2t} \right\}\\[7pt]
\displaystyle -(s^2 Y(s))' - 2 (sY(s))'-2sY(s) -2Y(s) & = &\displaystyle \frac{1}{s+2}
\end{array}$$In deze laatste regel zijn de accentjes afgeleiden naar de Laplace-variabele $s$; vergeet de productregel niet. Kan je hiermee verder?

mvg,
Tom

dinsdag 14 augustus 2012

©2001-2024 WisFaq