Vraagstukken diff vgl, tips nodig

Ik heb 18 vraagstukken gekregen om te oefenen. Ik heb tot nu toe 9 daar van kunnen oplossen.
Het grootste probleem wat ik heb is het vinden van de juiste methode om de differentiaal vergelijking op te lossen.

Ik weet wanneer ik scheiden van veranderlijken kan toepassen. Ook wanneer ik het in de vorm y'(x)+a(x)*y(x)=b(x) kan zetten. Maar wanneer moet je bv de stelling van lagrange gebruiken?

Ik heb nog een aantal vraagstukken, die volgens mij op dezelfde manier opgelost kunnen worden. Maar ik weet niet hoe te beginnen.

voorbeeld 1 :
Een stad is in de ban van de griep. Op een zekere dag, zeg op tijdstip t = 0, zijn 1000 inwoners van de stad besmet door het griepvirus. Veronderstel dat de snelheid waarmee dit aantal toeneemt, op elk ogenblik recht evenredig is met het aantal besmette inwoners van de stad op dat moment (noem de bijhorende evenredigheidsconstante k). Gelukkig raken er ook mensen verlost van het griepvirus. Hiervan weet je dat dit op tijdstip t gebeurt met een ogenblikkelijke snelheid van 10 * t inwoners per dag.

Hier heb ik dy/dt = k*y - 10*t voor gevonden.

Dan heb ik geprobeerd op te lossen volgens y'(x)+a(x)*y(x)=b(x)

dy/dt - k*y = -10*t en ik neem a(t)=k

dit geeft e^(k*t)

e^(k*t) * (dy/dt) - e^(k*t) * y * k= e^(k*t) * -10t
(e^(k*t) * y)' = e^(k*t) * -10t
y = e^-(k*t) * integraal(e^(k*t)* -10t

y = e^(k*t) * ((-10*(k*t-1)*e^(k*t))/k^2) + c )
als ik y = 1000 neem en t = 0 krijg ik voor c :
c= (10*(100*k^2 * e^(k*0)-1))/k^2

als ik c invul, y=0 neem en voor t = 50dagen dan krijg ik k=1

De uitkomst moet k 0,1 zijn
en y=(1000-(10/k^2))*e^(k*t)+(k*t+1)/k^2

voorbeeld 2:
een bedrijf brengt een nieuw product op de markt. Na een marktstudie rekent men op 100 000 klanten. De mate waarin het aantal klanten toeneemt, is rechtevenredig met het aantal contacten tussen klanten en niet-klanten. noem y(t) het aantal klanten op tijdstip t.
Los de diff vgl op, gebruik daarbij dat y(0)=10 en y'(0)=0,5

Als diff vgl heb ik dy/dt = k*y*(10^5 * y)
Nu wou ik dit oplossen door scheiden van veranderlijken.

dy/(y*(10^5 -y)) = k*dt
Integraal van beide kanten nemen en daar y uithalen geeft :
y=-(wortel(25*(10^8) - c * e^(k*t))-5000)

bij t=0 is y=10 dit geeft voor c = 999900

dit komt helemaal niet overeen met de oplossing
de oplossing is y=(10^5 * e^(5t))/(e^(5t)+10^6)

voorbeeld 3:
In een afgelegen dorpje met 4500 inwoners verspreidt zich een gerucht. We stellen N(t)gelijk aan het aantal personen die op tijdstip t het gerucht gehoord hebben. Duidelijk is dus N(t=0) = 1. Het gerucht verspreidt zich door contacten tussen mensen die het gerucht al kennen en mensen die het gerucht nog niet kennen. Het aantal van zulke contacten is rechtevenredig met het product van het aantal mensen die het gerucht kennen en het aantal mensen die het gerucht niet kennen.

ik heb dn/dt = k*N*(4500-N) gevonden.
En dit wou ik weer oplossen door scheiden van veranderlijken
dn/n*(4500-n) = k*dt

van beide de integraal nemen en oplossen naar n geeft
n=wortel(5062500 - c*e^(k*t))-2250

t=0 dan is n=1 en c = -4501

bij n = 1000 is t = 7,1082/k

en dit moet t = 0,001591/k zijn

Zou iemand mij kunnen uitleggen welke methode ik moet gebruiken en waarom? Of heb ik misschien een reken of denkfout gemaakt?

Alvast bedankt

Bart

Bart
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 6 april 2012

Antwoord

Beste Bart,

De opgaven zijn niet erg duidelijk, vaak ontbreekt wat er nu precies gevraagd is...?

1) Je vertrek dus van dy/dt - ky = -10t; dat heeft als oplossing
$$y(t) = Ce^{kt}+\frac{10+10kt}{k^2}$$en met y(0) = 1000 geeft dat C = 1000-10/k^2.

Vervolgens zeg je dat je k=1 op t=50 krijgt, maar waarom vul je t=50 in? En wat is er precies gevraagd opdat de 'oplossing' k0,1 zou zijn?

2) Hier ontbreekt hoe je die contacten tussen klanten en niet-klanten moet modelleren. Als dat zoals bij 3 is, zoals ik vermoed, dat vertrek je dus van dy/dt = k*y*(10^5 - y) (let op: - en geen *). Waar komt die wortel in je oplossing vandaan? Na integratie heb je:
$$- {10^{ - 5}}\ln \left( {1 - \frac{{{{10}^5}}}{y}} \right) = kt + c \Rightarrow y = \frac{{{{10}^5}{e^{{{10}^5}kt}}}}{{{e^{{{10}^5}kt}} + C}}$$en dan levert y(0) = 10 voor deze C een waarde van 9999, dus:
$$y\left( t \right) = \frac{{{{10}^5}{e^{{{10}^5}kt}}}}{{{e^{{{10}^5}kt}} + 9999}}$$Maar verder is het me onduidelijk wat er nu precies gevraagd is?

3) Je differentiaalvergelijking ziet er goed uit, je vertrekt dus van dn/dt = k*N*(4500-N). Deze oplossen is helemaal analoog aan de vorige, integreren levert:
$$- \frac{1}{{4500}}\ln \left( {1 - \frac{{4500}}{n}} \right) = kt + c \Rightarrow n = \frac{{4500{e^{4500kt}}}}{{{e^{4500kt}} + C}}$$en met n(0) = 1 krijg je hier C = 4499, dus:
$$n\left( t \right) = \frac{{4500{e^{4500kt}}}}{{{e^{4500kt}} + 4499}}$$Bij n = 1000 geldt dus
$$\frac{{4500{e^{4500kt}}}}{{{e^{4500kt}} + 4499}} = 1000 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{4500k}}\ln \frac{{8998}}{7} \approx \frac{{0,00159}}{k}$$en dat komt overeen met de modeloplossing.

mvg,
Tom

zaterdag 7 april 2012

Re: Vraagstukken diff vgl, tips nodig

©2001-2024 WisFaq