Eigenruimte als je geen eigenwaarden hebt

Als je voor een bepaalde transformatiematrix F uitkomt dat er geen eigenwaarden zijn van de lineaire transformatie f, dus ook geen eigenvectoren, heeft die transformatie dan een eigenruimte?

Ik zou persoonlijk zeggen van niet, maar de definitie van eigenruimte is:
Alle eigenvectoren die bij een zelfde eigenwaarde horen, vormen, samen met de nulvector, de eigenruimte van f.

Moet ik hier dan uit besluiten dat de nulvector sowieso tot de eigenruimte behoort ook al heb je geen eigenvectoren?
Is de eigenruimte dan de nulruimte, of hoe noem je zoiets?

Alvast bedankt!

Joram
3de graad ASO - vrijdag 6 april 2012

Antwoord

Beste Joram,

Aangezien het over lineaire transformaties gaat, wordt de nulvector altijd op de nulvector afgebeeld. Om die reden sluiten we de nulvector uit wanneer we het over eigenvectoren hebben.

De eigenruimte moet je niet als één ruimte zien die bij de transformatie hoort, maar wel: bij elke eigenwaarde van de transformatie, hoort een eigenruimte. Als $\lambda$ een eigenwaarde is van een lineaire transformatie T (in een vectorruimte V), dan is de eigenruimte die bij $\lambda$ hoort:
$${E_\lambda } = \left\{ {v \in V\left| {Tv = \lambda v} \right.} \right\}$$Dit zijn natuurlijk precies de eigenvectoren die bij $\lambda$ horen maar mét de nulvector erbij, want die voldoet ook aan $Tv = \lambda v$.

Het is dus een kwestie van afspraak, maar als we spreken van een eigenruimte $E_\lambda$, horende bij de eigenwaarde $\lambda$, dan heeft dat enkel zin als er een eigenwaarde is! Voor een lineaire transformatie zonder eigenwaarden (en dus ook zonder 'echte' eigenvectoren), geen eigenruimtes.

mvg,
Tom

zaterdag 7 april 2012

©2001-2024 WisFaq