Integreren goniometrische functie
Ik probeer volgende integraal op te lossen:
-òvan 0 tot plog sinxdx
Ik was er al mee begonnen maar zit halverwege vast. Kunt u me hierbij misschien verder helpen?
-òlogsinxdx vgl 1 en -òlogsin(p-x)dx en hier weet ik dat dit = -òlogcos((p/2) -x)dx
De volgende stap is dan ze bij elkaar tellen zodat je iets bekomt dat gemakkelijker rekent, maar daar zit ik vast.
Helen
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 10 maart 2012
Antwoord
Helen,
Neem I=ò(0,p/2)log(sinx)dx=ò(0,p/2)log(cost)dt.Voor de laatste stap neem je x=1/2p-t.Hieruit volgt dat 2I=ò(0,p/2)log(sinxcosx)dx=
=ò(0,p/2)log(1/2sin2x)dx=ò(0,p/2)log(sin2x)dx-1/2plog2.Neem nu
2x=t.Dan is 2I=1/2ò(0,p)log(sint)dt-1/2plog2.Hieruit volgt nu dat
2I=1/2I+1/2ò(1/2p,p)log(sint)dt-1/2plog2.Neem t=1/2p+x.Dit geeft:
2I=1/2I+1/2ò(0,1/2p)log(cosx)dx-1/2plog2=1/2I+1/2I-1/2plog2. Dus I=-1/2plog2.
De gevraagde integraal is dus 2I=-plog2.
kn
zondag 11 maart 2012
©2001-2024 WisFaq
|