Tussenwaardestelling en middelwaardestelling van Rolle

beste Wisfaq,

ik heb volgende oefening waar ik niet aan uit geraak. Heb op deze site niet echt een antwoord gevonden, misschien kan u de oefening eens bekijken.
de opgave was als volgt:

1) Hoeveel oplossingen heeft de volgende vergelijking
x⁵ +7x -38=0 voor x $\in$$\mathbf{R}$

Verklaar je antwoord nauwkeurig aan de hand van de tussenwaardestelling en de middelwaardestelling van Rolle. (tip die erbij stond was: definieer eerst een relevante functie)

en verder had ik nog een kleine vraag over het berekenen van hogere afgeleiden

a) bereken 1469ste afgeleide van x= x⁵³² -5x³⁷ -4
=naar mijn inziens is dit vanaf de 532ste afgeleide 0
klopt dat?

b) bereken de 102de afgeleide van q= cos 2q
hier kwam ik met mijn berekening als volgt uit: kan u dit eens nakijken of het juist is?

afgeleide 1:
f'(q)= -2 sin(2q) of -2¹sin(2q)
f''(q)= -4 cos(2q) of -(2)²cos(q)
f'''(q)= 8 sin(2q) of 2³sin(2q)
f''''(q)= 16 cos(2q)of 2⁴cos(2q)

dus kom ik uit op 2ⁿ cos(2q) als n even is waarbij de tekens afwisselend (+ - + - + - + ...) zijn (vb. n=2 = + ; n=4 - ..
en -2ⁿ sin(2q) als n oneven is

antwoord:
f(102')(q)= -2¹⁰² cos(2q)

alvast bedankt

B.
Student universiteit België - zaterdag 26 maart 2011

Antwoord

Beste Brandon,

1) Een relevante functie zou natuurlijk deze kunnen zijn:

f(x) = x⁵ + 7x - 38

Ga na dat f(0) en f(2) een verschillend teken hebben, de tussenwaardestelling garandeert dan dat deze (continue) functie...
Hoe de opgave hier Rolle precies in gebruikt wil zien weet ik niet, maar volgens mij volstaat het om de afgeleide eens aandachtig te bekijken.

a) Het is er qua lay-out niet helemaal doorgekomen, het hangt af van wat je met die tweede term bedoelt: ik zie er namelijk "5x¨37" verschijnen. Als dat ook gewoon een macht 37 is, dan zit je vanaf de 533e (niet 532e, zie je waarom?) afgeleide met 0.

b) Je antwoord klopt. Als je de gevallen voor de even en oneven ordes niet onderscheiden, kan je dit trucje gebruiken om voor de teken-wisseling te zorgen: nog een factor (-1)ⁿ⁺¹ voor de n-de afgeleide.

mvg,
Tom

maandag 28 maart 2011

Re: Tussenwaardestelling en middelwaardestelling van Rolle

©2001-2024 WisFaq