inhoud van een doorgesneden ellipsoide
Stel dat ik een ellipsoide heb van een gekende grootte, dus ik weet de parameters a, b en c in x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Ik wil weten wat de inhoud is van het deel van de ellipsoide dat boven een horizontaal vlak uitsteekt (z=d), maar ik weet op die punten niet wat a en b zijn (als ik d invul in de vergelijking, zit ik nog steeds met twee onbekenden). Ik weet dat de inhoud van een volledige ellipsoide 4/2[PI]abc is, maar ik weet niet wat ik nu verder moet met al die gegevens.
sandra
Student universiteit België - maandag 6 januari 2003
Antwoord
Hoi,
Je weet dat een ellips met vergelijking (x/a)2+(y/b)2=1 een oppervlakte pab heeft.
De ellipsoïde uit je opgave snijdt met een vlak z=z0 in een ellips met vergelijking:
(x/a)2+(y/b)2+(z0/c)2=1 of x2/(a2.(c2-z02)/c2)+y2/(b2.(c2-z02)/c2)=1.
Dit is dus een ellips met oppervlakte A(z0)=p.sqrt(a2.(c2-z02)/c2).sqrt(b2.(c2-z02)/c2)=pab.(c2-z02)/c2.
Het volume van de ellipsoïde tussen z=d en z=c is opgebouwd uit cilindrische schilletjes met een ellipsvormig grondvlak ter hoogte van z=z0 en met volume dV(z0)=A(z0).dz0 waarbij z0 van d tot c loopt.
Je berekent dan heel makkelijk V(d)=int(dV(z),z=d..c). Je gaat na dat V(0)=2pabc/3. Dit is de halve ellipsoïde. Je gaat ook na dat V(-c)=4pabc/3, de hele ellipsoïde.
Groetjes,
Johan
andros
woensdag 8 januari 2003
©2001-2024 WisFaq
|