Partiële integratie

Hallo, ik ben nu bezig met partiële integratie en mij is iets nog niet helemaal helder. Wanneer is er nou sprake van 2 afzonderlijke functies?

Heb dus 2 voorbeelden:
ò(x.¹/₂x) dx Þ met partiële substitutie:(x=f 1/2x=g')(x.¹/₄x²) - ò(1·1/4x²)= (x³)/4 - 1/12x³
= (3x³)/12 - (x³)/12 = (2x³)/12 = (x³)/6
Dit laatste antwoord krijg je ook door die basisfunctie samen te nemen als 1 functie:ò(x²)/2 Þ ¹/₃·(x/2)³
= (x³)/6

Het tweede voorbeeld met euler:
ò2x.e^2x dx Þ met f = x en g' = 2e^2x:
x.e^2x-òe^2x dx = x.e^2x-¹/₂·e^2x.
Bij dit tweede voorbeeld kun je dus niet alles samen nemen..

Is het dus zo dat als je te maken hebt met een 'e' of een 'ln' dat het dan 2 afzonderlijke functies zijn (en in elk ander geval je het gewoon samen kan nemen)?

Bij voorbaat Dank,
Manfred

Manfre
Student hbo - maandag 25 oktober 2010

Antwoord

Je eerste voorbeeld werk je helemaal correct uit, maar je zegt het in feite zelf al: het kan véél simpeler, namelijk door de functie die geïntegreerd moet worden (de zogeheten integrand) eerst te vereenvoudigen. In dit voorbeeld is de methode van partiële integratie veel te zwaar om deze eenvoudige integraal mee aan te pakken. Je hebt eigenlijk alleen maar laten zien dat het wél kan.

In je tweede voorbeeld zit je inderdaad met een integrand die zich niet laat vereenvoudigen. En dan wil de partiële integratie nog weleens werken (maar heus niet altijd!).
Het is zeker niet zo dat deze methode alleen bij ln-functies en/of e-machtfuncties is in te zetten, maar ik kan niet ontkennen dat er met die functietypes mooie integralen te vinden zijn. Ook goniometrische integralen willen er nog weleens mee aangepakt kunnen worden.
Al met al is het een kwestie van een beetje ervaring om te beslissen of de partiële integratie zal 'lopen' maar ook dan kan nog wel eens blijken dat er tóch een andere methode nodig is.

MBL
dinsdag 26 oktober 2010

©2001-2024 WisFaq