\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Derdegraadsvergelijking met 3 rele wortels

Ik zoek de eigenstructuur van een matrix, en hiervoor heb ik de wortels van de volgende vergelijking nodig:

-1x3+4x2+4x-16=0

Dit komt overeen met:

x3-4x2-4x+16=0

a=-4
b=-4
c=16

Dit is te herleiden tot

z3+pz+q=0

waarbij p= - a2/3 +b= -28/3
en q= 2/27 a3- ab/3 +c = 160/27

De discriminant D= (1/2q)2+(1/3p)3 is dan kleiner dan 0, dus heeft deze derdegraadsvergelijking drie reele wortels.

Vanuit de oplossing van de oefening die ik probeer te maken, kan ik afleiden dat deze drie wortels 4, 2 en -2 zijn. Ik weet echter niet hoe ik deze wortels moet berekenen.

Ik wilde de vergelijking op de goniometrische manier oplossen, met hulphoek y

cos y= (q/2)/√((p/3)3)

dan zou z1=-2√(p/3) cos y/2
z2= -2√(p/3) cos (120 +y/3)
en z3= -2√(p/3) cos (120 - y/3).

Ik zou x dan kunnen bepalen, aangezien x=z-(a/3).

Omdat p een negatief getal is, weet ik niet hoe ik deze berekeningen moet uitvoeren.

Hoe kan ik de wortels van vergelijking

-1x3+4x2+4x-16=0

berekenen?

Laura
Student universiteit Belgi - donderdag 10 september 2009

Antwoord

In dit geval helpen de formules van Cardano niet echt; wat je snel in kunt zien is dat elke gehele oplossing een deler van 16 moet zijn: als x een oplossing is dan geldt x(x2-4x-4)=-16. Het ligt dan voor de hand eerst even 1, 2, 4, 8 en 16 te proberen.

kphart
donderdag 10 september 2009

©2001-2021 WisFaq