\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Oefening ivm de hyperbool

Hallo,

Kan iemand me zeggen of men oplossingen juist zijn en of ik de juiste analytische methode heb gebruikt:

Op een Hyperbool H met middelpunt 0 nemen we een veranderlijk punt d. De raaklijn in d aan H snijdt de asymptoten in e1 en e2.

a) Bewijs dat het produkt ||0e1||||0e2|| constant is:

Een raaklijn aan H is de topraaklijn met vergelijking
x=a, zodat e1(a,b) en e1(a,-b).
Dus: (a2+b2)(a2+b2)=a2+b2
constante=a2+b2

b) Bewijs dat driehoek oe1e2 een constante oppervlakte heeft:
BH/2:
H: |0a|=a,B=2b2=4b2
dus: 4b2a/2= 2ab2
constante=2ab2

c)Bewijs dat het produkt van de afstanden van d tot de asymptoten constant is:

d(a,0) en asymptoten zijn y=+-b/ax
a.d.h.v. ux+vy+w/u2+v2

(bx-ya)/a2=ba/a2=b/a
en (bx+ya)/u2+v2=ba/a2=b/a
dus b/ab/a= b2/a2
constante = b2/a2

d)We trekken door d de evenwijdige met de nevenas. Deze rechte snijdt de asymptoten in g1 en g2. Bewijs dat het produkt |dg1||dg2| constant is:

Deze is dan idem aan a) a2+b2

Ik heb als raaklijn de topraaklijn gekozen om zo met x=a te werken.

gerrie
3de graad ASO - vrijdag 15 mei 2009

Antwoord

Gerrie,
Jij beschouwt wel een speciaal geval.Het moet natuurlijk algemeen ook gelden.Ik behandel alleen geval a).Dan kun je wellicht zelf wel verder.
Neem P=(p,q)op de hyperbool.Dus p2/a2-q2/b2=1 of b2p2-a2q2=a2b2.De raaklijn door P aan de hyperbool heeft als vergelijking px/a2-qy/b2=1.Voor het snijpunt E1 van de raaklijn met y=(b/a)x is x=(a2b)/(pb-qa),y=(ab2)/(pb-qa).Dus (OE1)2= a2b2(a2+b2)/(pb-qa)2.Op dezelfde wijze vind je dat
(OE2)2=a2b2(a2+b2)/(pb+qa)2.Conclusie:(OE1)(OE2)=a2+b2.

kn
vrijdag 15 mei 2009

 Re: Oefening ivm de hyperbool 

©2001-2022 WisFaq