\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Is deze reeks echt gelijkmatig convergent voor xo?

Hallo,
bedankt voor vroegere hulp. Nu heb ik dit probleem. Ik moet bewijzen dat de reeks voor n gaande van 0 tot oneindig met algemene term (x+n)^(-1).(x+n+1)^(-1)gelijkmatig convergeert naar 1/x voor x=0.
Ik denk dat met het gebruik van partiele breuken ik mag zeggen dat partiele sommen sn(x) gegeven worden door (1/(x+k) - 1/(x+k+1))voor k gaande van 0 tot n, en door het schrappen van de binnenste termen krijg ik sn(x)=1/x -1/(x+n+1). De limiet is dan 1/x. Het probleem is als x en n tegelijk nul zijn, wat in de opgave mogelijk is, dan kan er toch geen sprake zijn van gelijkmatige convergentie in [0,oneindig)??? Wat ontgaat mij hier???

Rita D
Iets anders - woensdag 19 november 2008

Antwoord

Aangezien 1/x niet gedefinieerd is in 0 kan inderdaad van uniforme convergentie op [0,oneindig) geen sprake zijn. Op het interval (0,oneindig) wel: het verschil tussen de n-de som en 1/x is, in absolute waarde, 1/(x+n+1) en dat is voor alle x kleiner dan 1/n en dit zorgt voor de uniforme convergentie.

kphart
donderdag 20 november 2008

©2001-2021 WisFaq