Laplace transformatie met dirac impuls functie

Geachte,
(L= laplace transformatie en ¶ = dirac delta functie)

Ik heb het volgende gegeven:
L[u(t)] = 1/S

dan zegt men dat L[f'(t)]= S . F(s) - f(t)

en dan besluit men met deze gegevens dat L[¶(t)] = S . 1/S + 0

Ik snap dat F(s) gelijk is aan 1/S ==L[u(t)] = 1/S
, maar waarom kan men stellen dat f(t) = 0 ?

Ik ga ervanuit dat f(s) in dit geval gewoon u(t) is (als je weet dat de afgeleide van u(t) ¶ is.

Dus waarom mag men stellen dat u(t) in dit geval gewoon 0 is.


bedankt

flor
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 13 november 2008

Antwoord

Kijk nog een goed naar de formulering van de stelling die zegt dat L[f'(t)]=s.F(s)-f(0) geldt nog eens goed: de functies f en f' moeten zo zijn dat hun Laplace transformaties inderdaad bestaan en meestal wordt f(0+) geschreven in plaats van f(0) (met f(0+) bedoelt men de limiet van f(t) voor t van rechts naar 0.
Ik neem aan dat je met u(t) de Heaviside-functie bedoelt; de afgeleide daarvan is de nulfunctie en de formule geeft dan ook: L[0](s)=s*1/s-1=0. Als je a0 neemt en u(t-a) transformeert krijg je als antwoord: e^-as/s. Nu is u(t-a) niet differentieerbaar dus is het zinloos over L[u'] te praten maar het rechterlid van de formule levert wel iets op: e^-as. De dirac delta is ingevoerd als een `functie' met de eigenschap dat L[d(t-a)](s)=e^-as; meer algemeen voor elke (continue) functie f moet gelden int(d(t-a)*f(t),t=0==oneindig)=f(a). Zo'n functie bestaat helemaal niet maar je kunt er uitstekend symbolisch mee werken en de delta als een soort implus interpreteren.
Bijvoorbeeld y''+y=d(t-3) is een differentiaalvergelijking die een trilling beschrijft waarbij het voorwerp op tijdstip 3 een klap met een hamer krijgt. Na transformatie krijgt je s²*Y(s)-s*y(0+)-y'(0+)=e^-3s. Deze vergelijking kun je algebraisch oplossen tot Y(s)=... na terugtransformeren geeft dat een sinusoide met een sprong (op tijdstip 3) er in.

kphart
zaterdag 15 november 2008

©2001-2024 WisFaq