Vectoren

hallo,
ik geraak maar niet wijzer uit een oefening.
de vraag:

Bepaal parameters k, m en p zodat: ka = mb + pg
met a,b,g zijn vectoren.
a = 3x -7y -7z
b = -x +3y +5z
g = x -2y -z

mijn oplossing:


ka - mb - pg = 0
[3 ] [-1] [1 ]
Û k*[-7] - m*[3 ] - p*[-2] = 0
[-7] [5 ] [-1]

Û [3k+m-p ]
[-7k-3m+2p] = 0
[-7k+5m+p ]

Û (3k+m-p)x + (-7k-3m+2p)y + (-7k+5m+p)z = 0

Û [3 1 -1 0]
[-7 -3 2 0]
[-7 5 1 0]

dan diagonaliseren, kom je uit op k,m,p = 0
dus de triviale oplossing.

is mijn werkwijze correct?

groetjes en dank bij voorbaat,
Nigel

Nigel
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 16 augustus 2008

Antwoord

Je hebt vectoren a = (3,-7,-7), b = (-1,3,5) en g = (1,-2,-1) in ³ en eigenlijk gaan we lineaire afhankelijkheid van deze vectoren onderzoeken. Omdat de matrix met deze vectoren als rijen determinant 0 heeft, zijn deze vectoren lineair afhankelijk en dus weten we al dat het niet enkel de triviale oplossing zal zijn.

Ik weet niet goed wat je precies bedoelt met al die tussenstappen, maar zolang je tot een vergelijking van de vorm ...x+...y+...z = 0 komt, is het in orde Daarna diagonaliseren is ook de juiste methode, maar je hebt een klein foutje gemaakt: de 5 moet een -5 worden. Iets bondiger opgeschreven: (0,0,0) = ka-mb-pg = k(3,-7,-7) - m(-1,3,5)-p(1,-2,-1) = (3k+m-p,-7k-3m+2p,-7k-5m+p), en bijgevolg moet 3k+m-p = 0, -7k-3m+2p = 0 en -7k-5m+p = 0. (En da's het stelsel dat je moet oplossen.) Je vindt als oplossing alle drietallen (k,m,p) = a*(1,-1,2) (met a een reëel getal).

Gewoon een notatie-hint: een vector schrijf je niet als a = 3x-7y+7z; ofwel beschouw je de vector als een vector uit de vectorruimte ³,+,· en dan schrijf je (3,-7,7) (de coördinaten van die vector ten opzichte van de standaardbasis van de vectorruimte), ofwel beschouw je de vector als een vector geplaatst in een assenstelsel (de meetkundige interpretatie), en dan schrijf je 3u_x-7u_y+7u_z, met u_x, u_y, u_z de eenheidsvectoren op de x-,y-, en z-as. (In de fysica worden deze eenheidsvectoren vaak voorgesteld door i, j en k.)

cd
zondag 31 augustus 2008

©2001-2024 WisFaq