Convergentie van filterbasissen

beste kp,

ik wil aantonen dat volgende 2 eigenschappen equivalent zijn:

1) " filterbasissen op X die convergeren naar x = beeld convergeert naar f(x)

2) " filterbasissen op X die adhereren naar x = beeld adhereert naar f(x)

noot: filterbasis adhereert of convergeert als de stack adhereert of convergeert.

Ik wil 2=1 aantonen, dit via contrapositie maw ik construeer een filter waarvan het beeld niet kan adhereren.

Zij stack B adhereert aan x, dus de doorsnede van alle elementen uit stack B en de omgevingenverzamelingen van x is niet leeg.

Ik noem die doorsnede telkens U. Zodoende vormen de U's een filter, die convergeert naar x, het beeld convergeert niet (gegeven) want er bestaat een f(U) die van geen enkel van de omgevingen van fx een deel is. Maar mij probleem is dat dit niet genoeg is, de doorsnede moet leeg zijn als ik wil aantonen dat de filter niet convergeert.

Wat denkt U hiervan?

groet,
winny

winny
Student universiteit België - zaterdag 24 mei 2008

Antwoord

Je wilt blijkbaar aantonen dat de negatie van 2 uit de negatie van 1 volgt maar je negatie is onjuist; uit je laatsts alinea proef ik dat je aanneemt dat voor elk(e) filter(basis) dat naar x convergeert het beeld niet naar f(x) convergeert maar dat is niet wat de negatie van 1 inhoudt. niet voor-alle F geldt als F-x dan f(F)-f(x) wordt vertaald naar er is een F waarvoor niet geldt als F-x dan f(F)-f(x). De negatie van `als A dan B' is `A en niet B'.
Kortom de negatie van 1 wordt: er is een F met F convergeert naar x en f(F) convergeert niet naar f(x).
Hieruit moet je een (ander) filter (of een filterbasis) maken dat adhereeert naar x maar waarvan het beeld niet naar f(x) adhereert.
Verder is je interpretatie van het niet convergeren van het beeld ook fout: f(F) convergeert niet naar f(x) als er een omgeving V van f(x) is zo dat voor geen enkele U het beeld f[U] een deelverzameling van V is.

kphart
zondag 25 mei 2008

Re: Convergentie van filterbasissen

©2001-2024 WisFaq