Voortbrengende of lineair (on)afhankelijkheid

Hallo,
ik kan niet goed uit aan het verschil wanneer een vector nu een basis is of voortbrengende of lineair (on)afhankelijk..
Voor mij lijkt alles toch ongeveer hetzelfde.
Misschien dat ik het met een voorbeeld beter zie.
grtzz
Rep

Rep
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 22 mei 2008

Antwoord

Gegeven een verzameling vectoren V. De verzameling W van vectoren die je bekomt door alle mogelijke lineaire combinaties van vectoren in V te nemen, wordt genoteerd als span(V), dus W = span(V). Men zegt ook wel dat de verzameling V de verzameling W "voortbrengt".

Stel nu dat er in V een vector v zit die op zichzelf al een lineaire combinatie is van sommige andere vectoren in V. Dan kunnen we W evenzeer "voortbrengen" zonder die vector v, aangezien elke lineaire combinatie waar v in voorkomt kan herschreven worden als eentje waar v niet in voorkomt.

Noem V' wat overblijft van V na het schrappen van alle "onnodige" vectoren. V' is dan een basis van W:

Je kan ook aantonen dat, hoewel een vectorruimte meer dan één basis zal hebben, die basissen steeds een zelfde aantal vectoren bevatten. Dat aantal heet dan de dimensie van W.

Voorbeeld:

V = {[1,0],[1,-1],[2,1]}

V brengt W=R² voort, aangezien elk koppel [a,b] in R² kan geschreven worden als een lineaire combinatie van de vectoren van V. Zo is bijvoorbeeld

[9,1] = 1.[1,0] + 2.[1,-1] + 3.[2,1]

Merk nu op dat in V bijvoorbeeld geldt dat [1,-1] = 3.[1,0] - 1.[2,1]. Met andere woorden, de vector [9,1] kan ook geschreven worden ZONDER te steunen op [1,-1], namelijk als

[9,1] = 1.[1,0] + 2.(3.[1,0]-1.[2,1]) + 3.[2,1]
[9,1] = 7.[1,0] + 1.[2,1]

En die redenering kan je voor elke andere vector in W=R² maken.

V' = {[1,0],[2,1]} brengt dus ook R² voort, maar heeft een element minder dan V. De overblijvende vectoren zijn lineair onafhankelijk: we kunnen V' dus niet nog verkleinen zonder de mogelijkheid om R² voort te brengen te verliezen. V' is dus wat men noemt een basis voor W=R², met dimensie 2, zoals alle andere basissen van R² (zie je theorie).

donderdag 22 mei 2008

©2001-2024 WisFaq