Particuliere oplossing

Beste medewiskundigen,

Bij een artikel over een gokspelletje hoort de volgende formule m.b.t de duur van het spel:

D(k)= 1/2D(k+1)+1/2D(k-1)+1

D(k)= de gemiddelde duur van het spel bij een
beginkapitaal k van een van de spelers.
De homogene vergelijking is ons gegeven en begrijpen we.
(D(k)= 1/2D(k+1)+1/2D(k-1) is gelijk aan D(k)=ck +D(0)=ck)

Nu moeten we nog een zogenoemde particuliere oplossing van de als eerst gegeven vergelijking vinden. Uit; -2k²=-(k+1)²-(k-1)²+2 volgt dat D(k)= -k² een oplossing is van de eerst genoemde vergelijking. Gezegd wordt dat de algemene oplossing van de differentievergelijking D(k)= -k²+ck

Hoe komen ze aan de particuliere oplossing,
bij voorbaat dank.

Hoogachtend,
N. Hoogland

N. Hoo
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 12 februari 2008

Antwoord

1. Bij de oplossing van de homogene vergelijking moet je D(0) niet zomaar wegleten; die oplossing is en blijft: D(k)=ck+d.
2. Dat -k² een oplossing is volgt uit de algemene theorie van differentievergelijkingen: herschrijf de vergelijking als D(k+1)-2D(k)+D(k-1)=-2. Dan zie je dat de rechterkant een oplossing van de homogene vergelijking is (D(k)=2 is een oplossing dus); in zo'n geval kun je een particuliere oplossing vinden door die 2 met k of met k² en een onbekende constante te vermenigvuldigen en dat in de vergelijking in te vullen. Hier is ck ook een oplossing van de vergelijking, dus moet je ck² proberen; na invullen krijg je c((k+1)²-2k²+(k-1)²)=-2. Je vind dan c=-1.

kphart
woensdag 13 februari 2008

©2001-2024 WisFaq