Re: Bewijs determinant van scheefsymmetrische matrix is 0

Dit is een reactie op vraag 53906

Christophe, alweer enorm bedankt voor u hulp. Nu begrijp ik het zoals jij dat uitlegt, echt goed. En op die elegantere manier was ik zelf nooit opgekomen. Nu weet ik die tenminste ook weer. Merci!

En wat die 2X2 matrix betreft:
Ik heb A= a b
c d
genomen. Dan kan ik afleiden dat a=d=0, c=-b, b=-c.
Det(A)= ad-bc = 0-c²
En tenzij c=0 en bijgevolg b ook nul, en de matrix A dus een nulmatrix is, geldt de eigenschap niet.

Die elegantere manier geeft:
det(A)= det(A^t) = det (-A) = (-1)²det(A)= det (A)
Maar op basis van die manier kan je daarop toch niet besluiten dat det(A) niet nul kan zijn he?

In elk geval bedankt.

vicky
Student universiteit België - woensdag 16 januari 2008

Antwoord

Nee dat kan je inderdaad niet besluiten: voor n even ging ik iets te kort door de bocht, in dat geval is het helemaal niet zo dat det(A) altijd nul is... Voor n=2 of n=4 kan je dat aantonen door een tegenvoorbeeld te geven: maak een willekeurige scheefsymmetrische matrix (voor n=2 bijvoorbeeld jouw matrix met c=1), bereken zijn det, en als die niet nul is heb je je tegenvoorbeeld.

Je kan ook voor algemene even n een tegenvoorbeeld opstellen: bekijk de matrix met nullen op de diagonaal, 1 daar vlak boven (dus je hebt n-1 eentjes), en -1 vlak onder de diagonaal. Bijvoorbeeld bij n=4 geeft dit A=
0 1 0 0
-1 0 1 0
0 -1 0 1
0 0 -1 0
Dit soort determinanten kan je makkelijk uitrekenen door te ontwikkelen, bijvoorbeeld naar de eerste kolom, je krijgt dan
det(A)=
det(
1 0 0
-1 0 1
0 -1 0)
Dit kan je ontwikkelen naar de tweede kolom, je krijgt
det(A)=
det(
1 0
-1 1)
=1.

Voor algemene n zie je dat je altijd kan ontwikkelen naar een rij of kolom waarin maar één element staat, en zodoende hou je een determinant over die zeker niet nul is.

Maar dat was dus allemaal niet gevraagd allicht

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 16 januari 2008

©2001-2024 WisFaq