Formules als oplossing van een differentiaalvergelijking

Gegeven is de volgende DV:

dy/dx = 1/4t²- 1/2 ty + 1/4 y²

De twee lineaire formules als oplossing van de DV moeten y=t-2 en y=t+2 zijn, echter, ik begrijp totaal niet hoe ik aan de opgave moet beginnen.
Ik kan namelijk nergens vinden hoe ik de afzonderlijke termen moet oplossen, en het antwoordenboek geeft alleen het antwoord. Ongebruikelijk opzich.

Ik denk dat ik iets simpels over het hoofd heb gezien, omdat dit een voorbeeld som is in het boek, en ik in staat zou moeten zijn het op te lossen. De vraag die op de bovenstaande vraag in het boek volgt, is om aan te tonen dat de formules kloppen - dat is simpel invul werk, en niet moeilijk. De formules opstellen is waar ik vast loop.

Bij voorbaat dank.

sander
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 3 november 2007

Antwoord

Het rechterlid kan je handiger schrijven als (1/4)(t-y)². Als je enkel op zoek bent naar lineaire oplossingen, vul dan gewoon de algemene vorm y=At+B in in de DV en los op naar A en B.

A = (1/4)(t-(At-B))²
A = (1/4)(t²+(At-B)²-2t(At-B))
A = (1/4)(t²+A²t²+B²-2ABt-2At²+2Bt)
A = (1/4)(t²(1-2A+A²)+t(2B-2AB)+B²)

waaruit volgt dat A=1 en B=2 of B=-2.

Als je de DV in het algemeen wil oplossen, help het over te gaan op z=t-y (en dus dz/dz = 1 - dy/dt), omdat de DV zo scheidbaar wordt:

1 - dz/dt = z²/4
dt = 4dz/(4-z²)

Integratie (van t0 naar t en van z0 naar z) geeft

t-t0 = ln((2+z)/(2-z)) - ln(2+z0)/(2-z0))

en na herrekening naar z

z = 2.((2+z0)exp(t-t0)-(2-z0) / ((2+z0)exp(t-t0)+(2-z0)

Terug overgaan naar y (met z0 = t0-y0) geeft

y = t - 2.((2+t0-y0)exp(t-t0)-(2-t0+y0))/((2+t0-y0)exp(t-t0)+(2-t0+y0))

Over het algemeen staan er in y(t) dus exponentielen. Die vallen echter weg als 2+t0-y0 = 0 (want dan komt er y=t-2(-1)=t+2) of als 2-t0+y0=0 (want dan komt er y=t-2).

Conclusie: als je door een punt (t0,y0) waarvoor y0=t0+2 of y0=t0-2 wil gaan, dan zijn de oplossingen rechten (door die punten en met rico 1).

zaterdag 3 november 2007

©2001-2024 WisFaq