Meervoudig integreren (inhoud)

beste

ik heb een 4delige vraag opgelost en wou weten of dit juist is. bij vraag b weet ik niet wat ik moet doen.

Gegeven de besloten ruimte G die gevormd wordt door de cilinder C: x²+y²=9, het xy-vlak en de bol B: x²+y²+z²=25. Gegeven is ook het punt a(x0,Ö(9-x0²),4).

a) Bereken de inhoud van de ruimte G mbv een meervoudige integraal.

de grenzen zijn: -3x3; -Ö(9-x²)yÖ(9-x²); -Ö(25-x²-y²)zÖ25-x²-y²) Het volume=òòòdzdydx=255

b) Bereken in a de parametervergelijking van de gemeenschappelijke loodlijn aan C en B.

?

c) Bereken de eenheidsvector in het XY-vlak die de richting van de steilste helling aangeeft in a aan B

met a(x0,Ö(9-x0²),4) en B: x²+y²+z²-25=0 = x²+y²-9=0 dus f=2xi+2yj = f in a=2x0i+2Ö(9-x0²)j = |f|=Ö((2*x0)²+(2Ö9-x0²))²) = 6
dus eenheidsvector u=((2*x0)/6)i+2*((Ö9-x0²)/6)j

d) Berkenen de richtingsafgeleide van B in a in de richting 2i-j

de richting van de loodlijn op deze kromme in a is geg door: h=(sh/sx)i+(sh/sy)j = -1/(Ö(25-y²-x²))*(xi+yj) = in a: h=-1/(Ö(25-(9-x0²)-x0²))*(x0i+(Ö(9-x0²)j) = (-1/4)*(x0i+(Ö(9-x0²)j) de eenheidrichting is geg: u=(2i-j)/Ö(2²+1²)=(2i-j)/Ö5 = richtingsafgeleide= -(2x0-Ö(9-x0))/(4*Ö5)

Dank bij voorbaat!!!

Tom

Tom
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 16 augustus 2007

Antwoord

Hallo,

a) Je grenzen zijn goed, behalve die voor z: er is gegeven dat het xy-vlak ook een grens is voor het gebied, dus ik veronderstel dat je het volume boven het xy-vlak nodig hebt, dus z loopt van 0 tot aan de wortel. Ik denk wel dat je een fout hebt gemaakt bij de uitwerking van de integraal: de tweede integratie geeft allicht iets met een boogsinus, je zou moeten uitkomen op 122/3 p.

b) De gemeenschappelijke loodlijn aan een bol en een cilinder? Hm... Het punt a ligt duidelijk op zowel bol als cilinder (want coördinaten voldoen aan beide vergelijkingen). Zou die gemeenschappelijke loodlijn dan de normaal kunnen zijn aan de snijcirkel tussen bol en cilinder? Dan is de gezochte rechte de verbinding tussen het punt a en het punt b(0,0,4). Maar het is onder voorbehoud want ik ben er niet van overtuigd dat dit de juiste interpretatie is van "gemeenschappelijke loodlijn"...

c) Je voelt met je ellebogen aan dat de gezochte vector de vector is van het punt (x0,Ö(9-x0²),0) naar de oorsprong. Wat jij uitkomt is echter de omgekeerde vector, dus ik denk dat in die richting je de sterkste daling hebt. Nu is de vraag natuurlijk niet zo eenduidig gesteld: "steilste helling" kan net zo goed naar boven als naar beneden zijn. Maar ik zou toch gaan voor -u.

d) lijkt mij oke (kwadraatje vergeten in laatste formule): als je oppervlak gegeven is door z=f(x,y) en u is de richting, dan is de gevraagde richtingsafgeleide het inproduct van de vector ¶f/¶x i + ¶f/¶y j enerzijds en u/|u| anderzijds.

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 20 augustus 2007

©2001-2024 WisFaq