Gebonden extremum

Hey,

mijn vraag gaat als volgt:

Een metalen oppervlak met vergelijking 4x²+y²+4z²= 16 wordt opgewarmd. Na één uur bedraagt de temperatuur in het ene punt (x,y,z) van het oppervlak: T(x,y,z) = 8x² + 4yz - 16z + 600.

a) vind het warmste punt op het oppervlak als we ons beperken tot x 0. Los op met gebonden extremum.

Ik zou te werk gaan als volgt; dus eerst een algemene vgl op te stellen van de functie

(omega) = 8x² + 4yz - 16z + 600 + (lambda).( 4x²+y²+4z²-16)
dit is afgeleid uit de functie:
(omgega) = w + (lambda)(fi 1) + lambda (fi 2)

Ik weet echter niet of het juist is dit als functievoorschrift te gebruiken? Ik vraag me ook af hoe je dat kan weten wat je als w (functie) of als fi1(bindingsvergelijking) moet plaatsen in dit geval?

Eens ik de hulpfunctie (omega) heb, kan ik de stationaire punten(=punten die kandidaat zijn voor een extremum)zoeken.
Dit doe ik dan via het stelsel van de partiele afgeleiden naar x,y,z, (lambda) (dit lukt meestal wel)

Dit moet gelijk gesteld worden aan 0, en dan haal ik de waarden x,y,z,(lambda) hieruit.

Ik bereken de 2e partiële afgeleide.
Ik moet ook rekening houden met het onderzoek naar het vaste teken van de 2e afgeleide. Van wanneer moet ik de bindingsvergelijking differentiëren?

hoe zie ik dat het teken vast is? ik dacht dat dit moest met s²-rt 0 dan vast teken en dus extremum.
s²-rt = 0 geen besluit
s²-rt 0 geen extremum en verandert van teken.
Is dit altijd zo?

Ik begrijp niet volledig hoe ik van d²(omega) het teken kan bepalen.

b) Ga expliciet na dat het een maximum is door berekening van de tweede orde differentiaal.

Dit zijn veel vragen ineens. Dit deel ligt me niet zo en men cursus geeft er niet zo veel informatie of extra uitleg over hoe je de oefeningen aanpakt.

Bij voorbaat dank.

Jessie

Jessie
Student universiteit België - vrijdag 27 juli 2007

Antwoord

Beste, om op je eerste vraag te antwoorden,

de bedoeling van lagrange multiplicatoren, is te kijken waar de gradient (richting van de afgeleide) van de ene functie op de ene plaats gelijk is aan een veelvoud van de gradient van een andere functie (bindingsfunctie) in dat bewuste punt. (op voorwaarde dat de gradient van de bindingsfunctie niet 0 is in dat punt)

Je functie ''omega'' is juist,

We bepalen dus de extreme waarden van de functie f(x,y,z)= 8x² - 4yz - 16z + 600 op het oppervlak fi(x,y,z)=(4x² + y+ 4z² - 16)

¶f(x,y,z)/¶x = ¶fi(x,y,z)/¶x
dit voor x,y,z en l. geeft :

16x = 8lx
4z = 2yl
4y-16= 8zl
4x²+y²+4z²-16=0

Als l niet 0 is, dan volgt uit de 1e vergelijking dat l=2
daaruit volgt dat y = z en z = - 4/3

als je dat in de laatste vergelijking zou invullen krijg je voor x² = 16/9
maw; x = + 4/3 of -4/3, aangezien je de oplossing beperkt tot x0 blijft er enkel 4/3 over.

als l = 0, dan is 4x² + 4z² = 0, en dit kan enkel als x en z gelijk zijn aan 0, wat door de opgelegde voorwaarde x0 dus geen goede oplossing is.

dus het punt (4/3,-4/3,-4/3,2) schijnt dus een extremum te vertonen.

Om op je 2e vraag te antwoorden, je dient na te gaan of dit punt een maximum is(of dus hier de hoogste temperatuur bereikt wordt?). Ik zou dit anders aanpakken, door alle extreme waarden te zoeken, en deze dan in de T(x,y,z) invullen om te kijken welke van de extremale waarden de grootste is.

winny

wk
zondag 29 juli 2007

©2001-2024 WisFaq