Overzicht

Beste,
ik ben nu bezig met het leren van lineaire algebra! ik heb al vele oefeningen gemaakt enzo, maar ik weet denk ik niet zo heel goed waar het allemaal over gaat. ik heb hier is een paar vragen bekeken, maar niet echt een goed antwoord gevonden op mijn vraag, namelijk: kan iemand mij eens klaar en duidelijk uitleggen wat een basis is, wat een voortbrengend deel en vrij deel is, en het verschil tussen lineaire on - en afhanelijkheid is???

ik weet het, het is een heel uitgebreide vraag. Zie zelf maar wat je wil beantwoorden!

Alvast bednakt

M
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 1 juni 2007

Antwoord

Dag Mattis,

Oei. Dat is wel een belangrijke vraag! De lineaire algebra gebruik je om vanalles te beschrijven dat zich "lineair" gedraagt. Dus dingen die je kunt optellen en met een getal te vermenigvuldigen.

Maar, laat ik naar je concrete vragen gaan. Een verzameling vectoren is afhankelijk als je een lineaire combinatie van die vectoren kunt maken die nul oplevert (zonder voor alle coefficienten nul te kiezen). Als dat niet zo is is de verzameling onafhankelijk.

Neem bij voorbeeld eens een paar vectoren: x = (1,0), y = (1,1) en z = (1,2). Met een beetje zoeken vind je: x-2y+z = (0,0). De de verzameling {x,y,z} is dus afhankelijk. Maar kijk nu eens naar de verzameling {x,y}. Probeer: ax+by=(0,0). Dus: a(1,0)+b(1,1)=(0,0). Dus: a+b=0 en b=0. Dat betekent: a=b=0. Aangezien dit de enige mogelijke oplossing is, is de verzameling {x,y} onafhankelijk.

Dan misschien even over het belang van (on)afhankelijkheid. Door x, y en z te combineren kun je nieuwe vectoren maken. B.v. x+y-z=(1,-1). Maar aangezien de verzameling {x,y,z} afhankelijk is, is dit niet de enige manier om de vector (1,-1) te schrijven. B.v. ook: 2x-y=(1,-1). Als je een onafhankelijke verzameling is kun je iedere combinatie maar op één manier doen. 2x-y=(1,-1) maar er is geen andere combinatie van x en y die hetzelfde oplevert.

Dan nu het voortbrengend en vrij deel. Zoals ik al zei kun je nieuwe vectoren maken door x, y en z te combineren. Oneindig veel zelfs. Ze vormen een lineaire ruimte (vectoren uit de ruimte kun je weer optellen. dan krijg je weer nieuwe vetoren. maar die zitten in dezelfde ruimte). Laten we die verzameling eens V noemen. x, y en z zitten zelf ook in V.

Maar je kan het ook andersom proberen. Als je een lineaire ruimte hebt. Dan kun je er een paar uitkiezen en je afvragen of die met die vectoren alle vectoren uit de ruimte kunt maken. Duidelijk is dat je met x, y en z alle vectoren uit V kunt maken. Het antwoord is ja. Dan noem je de verzameling {x,y,z} een voortbrengend deel van V.
Maar neem nu eens de verzameling {x,y}. Kun je alle vectoren uit V ook schrijven als een combinatie van x en y? Het antwoord is weer ja. (immers: z = x+y, z zelf is dus een combinatie van x en y. Dus als een vector te schrijven is als een combinatie van x, y en z te schrijven is, is die ook te schrijven als een combinatie van alleen x en y). Dus ook {x,y} is een voortbrengend deel van V. En je kunt nog veel meer combinaties vinden die V voortbrengen.

Maar er is een verschil. Als vectoren in V zijn te schrijven als een combinatie van x, y en z. Maar zoals we al hebben beschreven is die manier niet uniek. Iedere vector kan op meerdere manieren als een combinatie van x, y en z worden geschreven.
Voor {x,y} is dat anders. Alle vectoren uit V kunnen worden geschreven als een combinatie van x en y, maar bovendien kan dat maar op één manier. Dat betekent dat {x,y} een basis voor V is.

Nog even terug. {x,y,z} en {x,y} zijn allebei een voortbrengend deel van V. Maar (hebben we boven al gezien) de eerste verzameling is afhankelijk en de tweede onafhankelijk. Als de verzameling onafhankelijk is noem je het een vrij deel. Als een verzameling V voortbrengt (een voortbrengend deel van V dus) en ook onafhankelijk is (een vrij deel dus) dan is die verzameling een basis voor V.

Het belang van een basis: Als een verzameling een basis is voor V dan betekent dat dat je iedere vector uit V op precies één manier kun schrijven als een combinatie van de vectoren uit de basis.

En dan nog iets. Een ruimte V heeft niet een basis maar (oneindig veel) maar als je twee verschillende basissen voor een ruimte neemt, dan hebben die twee basissen hetzelfde aantal vectoren. Dus, b.v. elke basis voor de ruimte V hierboven zal uit precies twee vectoren bestaan. Het je een verzameling met maar één vector, dan kan het geen voortbrengend deel van V zijn. En heb je een verzameling van 3 of meer vectoren dan kan het geen vrij deel zijn.

Nou, ik hoop dat je hier iets aan hebt. Groet. Oscar

os
vrijdag 1 juni 2007

©2001-2024 WisFaq