\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Re: Re: Re: Homothetisch nut

 Dit is een reactie op vraag 50574 
Beste Oscar,

Euhhh het is wel de bedoeling dat ik het alleen oplos, dit is een deel van mijn eind-scriptie. Ik zal antwoord geven of je vragen:
1) Klopt
2) Klopt ook
3) Het maximum geeft het inderdaad het plezier aan, maar dan het plezier van de consumptie van het vermogen
4) Ik heb op zich geen algemene oplossing nodig. Ik ga het probleem op lossen m.b.v. simulatie
5) Nee ik bedoel echt Wt, hieronder zal ik het duidelijk proberen te maken.
6) Ik heb helaas geen boek, alleen een aantal papers waar ik mijn info uit moet halen. In deze papers wordt echter alleen gezegd dat omdat het nut homothetisch in het vermogen is, het vermogen genormaliseerd kan worden.

Goed, aangezien de vraag een stuk ingewikkelder is geworden dan ik had verwacht zal ik proberen uit te leggen waarom ik Wt graag tot 1 zou willen normaliseren.

Een dynamisch optimaliseringsprobleem zoals deze wordt altijd van achter naar voren opgelost met behulp van zogenoemde value functions. Deze value functies zijn als volgt gedefinieerd:
Vt=max (over ct en xt) U(ctWt+bE(Vt+1)

Hierdoor heb je dus te maken met een reeks 1-periode problemen. Nu geldt ook dat op het laatste tijdstip, T, alles geconsumeerd wordt dus:
VT=U(cTWT)=U(cTWT)=U(WT)
En zo ga je door tot aan het begin.

Om iedere keer het maximum te vinden kies ik een grid voor x en c en zoek die x en c waarbij de value functie het grootst is. Echter zoals al eerder gezegd geldt:
Wt+1=(1-ct)Wt(xtRe+Rf)+Xt+1.
Hiervoor is echter weer Wt nodig en die weet je niet.

Dit kun je op 2 manieren oplossen:
1) Een grid voor Wt kiezen en daar ook weer het maximum voor te kiezen. Hierbij weet ik echter niet hoe ik het grid moet bepalen, want het vermogen kan heel groot, maar ook heel klein zijn. Dat ligt maar net aan de behaalde beleggingsresultaten in voorgaande periodes. Als ik het grid erg groot kies dan wordt mijn programma natuurlijk erg traag en is het bijna niet meer haalbaar om het probleem op te lossen.

2) De tweede optie is dus om het huidige vermogen Wt uit de beperking te laten vallen. Dit klinkt natuurlijk heel aannemelijk, maar ik weet niet precies waarom het kan. Verder lijkt het in mijn geval, met arbeidsinkomen, niet goed te gaan. Daarom wilde ik graag weten wat die homothetie inhoudt en waarom je Wt dus kunt normaliseren.

Zo, het is een heel verhaal geworden, maar inmiddels weet ik dat ik beter te veel kan opschrijven dan te weinig ;).

Groet,
Gerda

N.b. een van de papers die ik gebruik is:

Jump to the Navigation Bar
A Simulation Approach to Dynamic Portfolio Choice with an Application to Learning About Return Predictability
van Brandt et. al.

Gerda
Student universiteit - donderdag 3 mei 2007

Antwoord

Beste Gerda,

Daar ben ik weer. Het blijkt dus te gaan om een optimalisatie in veel dimensies. Daar heb ik nou weer wel ervaring mee. Ik zie nog steeds niet dat er hier veel te normaliseren valt, maar ik weer wel dat er veel efficientere methoden zijn dan een grid search. Google maar eens: "steepest decent"

Maar, de reden dat ik je zo snel schrijf is dat het probleem zoals je dat nu formuleert uiteindelijk toch vrij simpel op te lossen is. Misschien heb ik wat over het hoofd gezien of wil je je model aanpassen. Maar ik ben heel benieuwd wat je hier van vindt:

Als ik om te beginnen naar de xt kijk, dan zie ik dat die alleen maar een positief effect hebben. Als ik een xt iets groter kies, zonder verder iets te veranderen, dan wordt Wt+1 groter en daarmee ook alle ander Ws met st. In het optimum zullen dus sowieso alle xt gelijk zijn aan 1. De reden hiervoor is dat risicovolle inversteringen in jouw model altijd meer opbrengen (voor zover ik kan zien dan). Hierdoor wordt de recursievergelijking: Wt+1 = aWt+b-ctWt met a = xtRe+Rf en b = Xt. Voor de eenvoud neem ik aan dat het inkomen niet verandert, hoewel dat voor de oplossing uiteindelijk niet veel uitmaakt. Ik heb de formule iets aangepast omdat volgens mij je nieuwe vermogen je oude vermogen plus verdienste min uitgaven is.

De volgende stap is: de nutsfunctie met behulp van Wt te definieren ipv ct. Immers ctWt = aWt+b-Wt+1. Dus kan ik nu zoeken naar het maximum van de functie: bt(aWt+b-Wt+1)1-g
Dat wil zeggen. Ik kan onderzoeken voor welke waardes van Wt het resultaat maximaal is. Met die waardes kan ik dan later weer de ct berekenen. Om dat maximum te zoeken ga ik differentieren naar alle Wt's. Dat is vrij eenvoudig omdat iedere Wt in hoogstens 2 termen voorkomt. Ik krijg: 0 = bt(aWt+b-Wt+1)-g*a - bt-1(aWt-1+b-Wt)-g
Dus: (a*b)g*(aWt+b-Wt+1) = aWt-1+b-Wt
En tenslotte: Wt+1 = aWt+b-(aWt-1+b-Wt)/(a*b)g

Dit kan nog wat eenvoudiger, maar ik laat het even staan. Je doet nu het volgende. Je neemt W0 het beginvermogen en voor W1 een lagere waarde. Dan kun je met de bovenstaande vgl W2, vervolgens W3, enz. De enige voorwaarde die je nog overhebt is dat de laatste Wt gelijk moet zijn aan nul. Immers, je hebt het meest van je vermogen geprofiteert als het aan het eind op is. Als dat niet uitkomt verander je de waarde van W1. Dit is dus de enige parameter waarvoor je nog een (grid) search moet uitvoeren.

os
vrijdag 4 mei 2007

 Re: Re: Re: Re: Re: Homothetisch nut 

©2001-2021 WisFaq