Chi-kwadraat en eenzijdig toetsen

Hallo! Ik ben met een zelfstudie cursus statistiek bezig en over het algemeen gaat dat redelijk, mede namens de hulp op jullie site. Echter, ik ben nu tegen iets aangelopen wat ik niet begrijp en waar ik ook in andere boeken / sites geen antwoord heb gevonden. Het is vast heel makkelijk, maar ik zie het niet. Ik zal de passage uit mijn (Engelse) leerboek even aanhalen.

There is a slightly confusing point in the use of chi²test with two categories. It relates to the number of tails involved. The problem arises because the formula for X² produces a large value when there are large departures of observed and expected values in either direction. As it stands the test is a two-tailed test because it detects deviations in either direction, but since these large values of X² only occur in the right-hand tail of the sampling distribution, we only use this one tail of the distribution for determining the critical values.

Sofarsogood! Dit begrijp ik (volgens mij): de significantie waarde voor testen in de biologie is meestal 5%. Om dus die 5% te bepalen aan de rechterzijde van de curve moet je voor de kritische waarde van chi² kijken bij alfa-1(R) 5%. Je wilt immers in feite een test doen op een zijde van de curve.

Maar:

The complication arises if we want to do a one-tailed test. Should we want to carry out a one-tailed test, we proceed with the calculation of X² as before, but the critical value has to be changed. We simply look up the value in the column with a significance level twice that which is desired. So for a one-tailed test at the 5% significance level we use the critical value in the alfa-1(R) = 10% column.

En daar verlies ik de logica: je voert toch al een one-tailed test uit? Waarom moet je in de alfa-1(R) kolom dan ineens 10% nemen? Je wilt toch een significantie level van 5% hebben en dat kun je in een distributie curve met twee zijden verdelen over beide zijden of over een zijde, maar dan kunnen de alfa-1 waardes toch nooit meer dan 5% zijn? (Als je het over twee zijden verdeelt, moet je alfa-2 waarde 5% zijn, over een zijde de alfa-1 = 5%, zoals ook bij binomial tests)

Hopelijk kunnen jullie me uitleggen waarom de standaard chi² test gezien wordt als een two-tailed test terwijl je in alles de regels voor een one-tailed test op een two-tailed curve volgt (met alfa-1 waarde voor significantie 5%, hetgeen logisch lijkt) en vervolgens voor een one-tailed test bij dezelfde curve de alfa-1 waarde ineens gezocht moet worden in de kolom voor significantie level 10%...

Bedankt!

Karen
Student universiteit - donderdag 24 oktober 2002

Antwoord

Als je kijkt naar de $\chi^{2}$-verdeling bij 1 vrijheidsgraad kan je die opvatten als het kwadraat van de normaal verdeling. Bij een normaal verdeling hoort een z-waarde van 1,96 bij een significantie van 5% (tweezijdig). Het kwadraat van 1,96 is 3,84. Dit laatste is precies de waarde die in een tabel van $\chi^{2}$ staat bij df=1 en 0,05. Anders gezegd: de $\chi^{2}$-verdeling combineert in dit geval de twee takken van de normaalverdeling in de rechter kant van de $\chi^{2}$-curve. Je kijkt alleen maar naar de rechter kant van de curve.

Vast staat dat de $\chi^{2}$-verdeling een tweezijdige toets is, waarbij je niet naar de richting van een verschil kijkt, maar alleen of er verschil is. In de meeste gevallen volstaat dat ook prima...

In het geval van een eenzijdige toetsing met de $\chi^{2}$-verdeling kan je voor een 5% significantie in de tabel kijken bij 10%. Dit is niet zo gek, je legt, als het ware, de grens, waarop je besluit dat er sprake is van een verschil, ietsje naar links!

De waarde van $\chi^{2}$ die je nodig hebt voor 5% (df=1) voor eenzijdige toetsing is 2,71 en dat is weer precies het kwadraat van 1,64 die je bij een normaal verdeling zou gebruiken.

De verwarring is natuurlijk dat je bij de normaal verdeling bij tweezijdige toetsing die 5% verdeelt over de twee takken... en bij eenzijdig toetsen niet. Nu is de $\chi^{2}$ al tweezijdig, dus om er een eenzijdige toets van te maken 'leg' je aan de rechter kant 10% kans neer.... terwijl het in feite een significantieniveau oplevert van 5%.

Samengevat: omdat de $\chi^{2}$ een tweezijdige toets is, moet je bij gebruik als eenzijdige toets de significantie verdubbelen.

De tekst is verwarrend: er staat 'we only use this one tail'. Dat klopt wel, maar dat is 'gewone' taal: we gebruiken de curve alleen aan de rechter kant, maar dat heeft niets te maken met eenzijdig toetsen, want zoals we gezien hebben is $\chi^{2}$ in principe tweezijdig.

donderdag 24 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq