Kans op een jongetje of een meisje

Tijdens de luchpauze werd het volgende verhaal verteld: Stel je bent al wat ouder; je loopt door Amsterdam en je komt een vriend van vroeger tegen. Aan zijn hand loopt een jongetje, zijn zoontje. Je zegt hem gedag, vraagt hoe het met hem en zijn gezin gaat, en hij vertelt dat hij nog een kind heeft, dat verderop om de hoek staat.
Hoe groot is nu de kans dat dit tweede een jongetje of een meisje is, gegeven dat de kans op jongetjes of meisjes elk 50% is?

Antwoord bioloog: Die kans is gewoon 50 % op een jongetje en 50% op een meisje.
Als je twee keer kop of munt gooit, en je gooit de eerste keer kop, dan blijft bij de tweede keer gooien de kans op kop of munt ook elk 50%.

Antwoord Epidemioloog: 2/3 kans op een meisje en 1/3 kans op een jongen
Stel dat je 100.000 van die vrienden hebt met twee kinderen. Dan kan je die verdelen in 4 groepen
Groep A: krijgt eerst jongen dan meisje 25%
Groep B: krijgt eerst meisje dan jongen 25%
Groep C: jongen jongen 25%
Groep D: meisje meisje 25%
Je weet niet of dit kind een eerste of tweede kind is. De groepen A en B kan je dus samenvoegen
Je weet wel dat het geen twee meisjes kunnen zijn, dus de laatste groep valt af
Dan hou je een groep over van 50.000 vrienden (A+B) met een jongen en een meisje, en een groep van 25.000 vrienden (C) met twee jongens.
De kans dat het andere kind een meisje is, is dus ongeveer 2/3 en de kans dat dit een jongen is slechts 1/3

Wie heeft er nu gelijk?

Mark
Student universiteit - vrijdag 18 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

Dit is een leuk staaltje pseudo-redeneren dat duidelijk maakt hoe onintuïtief kansrekenen kan zijn en hoe overtuigend een foute rederening kan zijn...

We noemen de kans op een jongen p (p@50%).
Gevraagd is: wat is de kans dat een tweede kind een jongen is als je weet dat het eerste een jongen is.

De eerste redenering is zonder meer correct, voorzover de kans op een jongen gelijk is aan de kans om kop (of munt) te gooien... Een bioloog zou wellicht eerder beweren dat het ene of andere geslacht meer voorkomt...

In de tweede redenering bekijken we volgende gebeurtenissen.
JM: vriend heeft jongen en meisje (A+B)
JJ: vriend heeft twee jongens (C)
MM: vriend heeft twee meisjes (D)
Wanneer we geen rekening houden met het feit dat de vriend minstens één jongen heeft, hebben we:
p(JM)=2.p.(p-1)
p(JJ)=p.p
P(MM)=(1-p).(1-p)
De som is inderdaad 1. Tot hier is de redenering correct.

De fout komt er echter in, wanneer we rekening houden met het feit dat we weten dat hij minstens 1 jongen heeft. Als je gewoon de groep MM laat vallen, dan heb je een totale kans van p.p+2p.(p-1)<1... en dit kan uiteraard niet.

De vraag is: wat zijn de echte voorwaardelijk kansen op JM, JJ en MM wanneer we weten dat de vriend minstens één jongen heeft.

J1 en J2 zijn de gebeurtenissen dat het eerste kind een jongen is, resp. het tweede (eerste en tweede uit verhaal, niet volgens geboorte).
Welnu: p(JM|J1)=1-p, p(JJ|J1)=p en p(MM|J1)=0
De kans dat het tweede kind een jongen is, wanneer het eerste een jongen is, is p. De kans op een meisje onder die voorwaarde is 1-p. Hier is de totale kans dus wel 1.

Zodat p(J2|J1)=
p(J2|(JM|J1)).p(JM|J1)+p(J2|(JJ|J1)).p(JJ|J1)+p(J2|(MM|J1)).p(MM|J1)=
(1-p).p(J2|(JM|J1))+p.p(J2|(JJ|J1))

Het is duidelijk dat:
p(J2|(JM|J1))=0 en p(J2|(JJ|J1))=1 zodat: p(J2|J1)=p

Groetjes,
Johan

andros
vrijdag 18 oktober 2002

Re: Kans op een jongetje of een meisje

©2001-2024 WisFaq