Driehoeksongelijkheid moduli
He,
Kan er mij iemand zeggen hoe je bewijst dat voor alle complexe getallen het volgende geldt:
|z1+z2| |z1|+|z2| (de zgn. driehoeksongelijkheid).
Ik probeerde al de klassieke manier van bewijzen voor deze ongeljkheid, namelijke door te stellen dat -|a|a|a|, maar volgens mij is dat hier niet toepasbaar omdat je complexe getallen nu eenmaal niet kan vergelijken. Weet iemand hoe het dan wel moet ?
Stijn
Student universiteit België - maandag 16 oktober 2006
Antwoord
Bereken van allebei het kwadraat en vergelijk die kwadraten.
Rechts krijg je |z1|2+|z2|2+2|z1||z2|
Het kwadraat van de linkerkant is gelijk aan het product van (z1+z2) en zijn complex geconjugeerde; als je dat uitwerkt komt er |z1|2+|z2|2+(z1·cg(z2)+cg(z1)·z2) (met cg bedoel ik complex geconjugeerde); het stuk tussen haakjes is gelijk aan tweemaal Re(z1·z2), daarvan lijkt me duidelijk dat het kleiner dan is of gelijk aan 2|z1||z2|.
kphart
dinsdag 17 oktober 2006
©2001-2024 WisFaq
|