Bewijzen en oplossen van

gegeven DY = 3x-y
DX x+y

in welke punten zijn de lijnelementen van de diff horizontaal en in welke verticaal??
wat is derichting van de lijnelementen op de x as en wat op de y as? en hoe zit het met de oorsprong?/
En de algemen oplossing van de gegven diff

bij voorbaat dank want ik weet het niet meer

aub help mij

m vr gr

Hans

livinu
Student hbo - donderdag 14 september 2006

Antwoord

dus:
dy/dx = (3x-y)/(x+y) ? Ik neem aan dat dat de dv is waar het om gaat.

a. in welke punten zijn de lijnelementen van de dv horizontaal?
"horizontaal" moet je bij dv's altijd vertalen naar dy/dx = 0

ofwel (3x-y)/(x+y) = 0
Þ y=3x (en x¹-y want anders is de noemer van de dv 0)

b. in welke punten verticaal?
"verticaal" moet je bij dv's altijd vertalen in dx/dy = 0
dus: ....

c. richting van de lijnelementen op de x-as?
Op de x-as geldt altijd: y=0
dus de richtingscoëfficiënt (de dy/dx) van alle punten op de x-as, krijg je door in de uitdrukking voor dy/dx, in te vullen dat y=0:
dy/dx|_(y=0) = (3x-0)/(x+0) = 3x/x = 3
Met andere woorden: de rc van de lijnelementen die zich op de x-as bevinden, is in alle gevallen 3, ONgeacht de x-positie

d. richting van de lijnelementen op de y-as?
(vrijwel identiek aan c.)
Op de y-as geldt altijd: ......
Dus vul in in de dv: dy/dx = ....

e. in de oorsprong (0,0) is geen richting gedefinieerd, want vul je de coördinaten van de oorsprong in, in de dv, dan krijg je: dy/dx = 0/0
Dit heet een singulier punt.
een gaatje in de grafiekenbundel, zeg maar. ;-)

f. de algemene oplossing:

Dat was een hele puzzel ...
Het oplossen van een dv is lang niet in alle gevallen hetzelfde, en soms gaat het gewoon puur op recept. Het hangt van het type dv af

De oplossing moet volgens mij zijn:

y²+2xy-3x²=C met C een integratieconstante. (hangt van de randvoorwaarde af)

Het bewijs/recept, zal ik in 7-mijlslaarzen doorheen stappen:
Het makkelijkst zou zijn 'scheiding van variabelen' (alle x'en aan de ene kant, alle y'en aan de andere kant). Helaas lukt dat bij deze dv niet. :-(
Maar via een omweggetje kunnen we tòch 'scheiding van variabelen' toepassen, en gloort er weer licht aan de horizon. Daarvoor moet de dv wel aan een bepaalde voorwaarde voldoen

Het is een dv van het type dy/dx = f(x,y) (immers, (3x-y)/(x+y) is op te vatten als een bepaalde functie van x en y.)
Welnu, je moet eerst checken of de dv "homogeen" is.
Dit doe je door na te gaan of f(tx,ty)=f(x,y)
Aangezien f(tx,ty)= (3tx-ty)/((tx+ty) = (3x-y)/(x+y) = f(x,y)
is de dv als "homogeen" aan te merken.

Wanneer een dv homogeen is, mag je y=x.v substitueren
Dit leidt ertoe dat je dy/dx nu op te schrijven is als:
v + x.dv/dx
Dit vullen wij allemaal netjes in in de oorspronkelijke dv:

v + x.dv/dx = (3x-vx)/(x+vx)
Û v + x.dv/dx = (3-v)/(1+v)
Û x.dv/dx = (3-v)/(1+v) - v
Û x.dv/dx = (3-v)/(1+v) - v(1+v)/(1+v) = ... = -(v+3)(v-1)/(v+1)
Û -(v+1)/(v+3)(v-1) dv = 1/x dx
Û -(v+3)/(v+3)(v-1) + 2/(v+3)(v-1) dv = 1/x dx
...
Û {-1/(v-1) - ¹/₂/(v+3) + ¹/₂/(v-1)} dv = 1/x dx
Þ -ln(v-1) - ¹/₂ln(v+3) + ¹/₂ln(v-1) = lnx + C₁
Û -¹/₂(ln(v-1)(v+3)) = ln(C₂x)
Û ln(v-1)(v+3) = ln(C₃.1/x²)
Û x² = C₃/(v-1)(v+3)

nu y=xv terugsubstitueren:

Û x² = C₃/(y/x - 1)(y/x + 3)
Û (y-x)(y+3x) = C₃
Û y²+2xy-3x² = C₃

groeten,

martijn

mg
woensdag 20 september 2006

©2001-2024 WisFaq