Integreren van een functie om booglengte te berekenen

Na het berekenen van de functie die ik moet integreren bij een booglengte kom ik tot volgende integraal
integraal van sqrt((2x+4)/(4x-x*x))

Heb 2 zaken geprobeerd, van de noemer 4 -(2-x)*(2-x) maken, mar ik kan dan nog geen vierkantswortel trekken.

t=4x-x*x maar de afgeleide is niet de teller, teken??

Vannes
3de graad ASO - vrijdag 9 juni 2006

Antwoord

Beste Diana,

De functie waarvan je de booglengte moest berekenen was:

y = Ö(4x-x²)

De afgeleide is dan: (2-x)/Ö(4x-x²)
Zodat afgeleide in het kwadraat: (2-x)²/(4x-x²)
Dan vereenvoudigen van 1+y'² ® 4/(4x-x²)

Zodat je volgens mij komt tot: 2.sqrt(1/(4x-x²))

Maar, moet het wel met integralen? Volgens mij kan het veel eenvoudiger.
Als y=Ö(4x-x²), dan levert kwadrateren: y²=4x-x². Let op: we verdubbelen nu de kromme omdat ook de spiegeling tov de x-as er nu bijzit, door de negatieve wortel. Herschrijven:

y² = 4x-x² Û y²+x²-4x = 0 Û y²+(x-2)²-4 = 0 Û y²+(x-2)² = 4.

Je vindt een cirkel met diameter 4 en hebt maar de halve omtrek nodig, dat is precies 2p.

mvg,
Tom

dinsdag 13 juni 2006

©2001-2024 WisFaq