Sommen van sinus en cosinus en periodiciteit

Beste mensen.
Er zijn een aantal opgaven die ik niet begrijp en die gaan over het bepalen van de trillingstijd/frequentie van sommen van sinussen en/of cosinussen, bv:

x(t)=cos(a$\omega$t) + cos(b$\omega$t) is periodiek wanneer er een rationaal verband bestaat tussen a en b. Mijn vraag is nu hoe je aan de trillingstijd T komt (of frequentie f=1/T). Ik heb een aantal dingen geprobeerd maar die gelden dan steeds niet algemeen. Voor sommen met meer dan twee sinussen/cosinussen heb ik helemaal geen idee. Zou u voor

x(t)=cos(5$\omega$t)+sin(6$\omega$t)-cos(8$\omega$t)

willen laten zien hoe de manier van aanpak is? Bij voorbaat dank.

Rik
Student universiteit - maandag 24 april 2006

Antwoord

dag Rik,

De trillingstijd T is gelijk aan 2$\pi$ gedeeld door $\omega$·ggd(a,b)
Hierbij moet je de ggd 'ruim' opvatten, dat wil zeggen: uitbreiden naar de rationale getallen.
bijvoorbeeld
ggd(6,9) = 3
ggd(²/₅,⁴/₅) = ²/₅
Deze formule is eenvoudig uit te breiden naar meer dan twee termen.
In jouw voorbeeld geldt dus:
ggd(5,6,8) = 1
dus T = $\large\frac{2\pi}{\omega}$

maandag 1 mei 2006

©2001-2024 WisFaq