Ellips - vierkantsvergelijking

Dames en Heren, ik zit al een paar uur te kijken op deze opgave en geraak maar geen stap verder, enige tips of hulp zou enorm welkom zijn.

Opgave: men heeft een ellips met het voorschrift x²/a² + y²/b² = 1, uit een punt D(x₁,y₁) trekt men 2 raaklijnen aan deze ellips (t₁ en t₂), Nu, moet ik bewijzen dat de richtingscoëfficienten van deze raaklijnen de oplossing zijn van de volgende vierkantsvergelijking:

(a² - x₁²) m² + 2 x₁ y₁ m + b² - y₁² = 0 (met x₁ ¹±a)

als ik deze vierkantsvergelijking probeer op te lossen (discriminant en zo verder) dan kom ik enorme vierkantswortels uit waar ik totaal vast in zit en ook weet ik niet wat de richtingscoëfficienten zijn van de raaklijnen,

al vast bedankt voor uw hulp.

Steven
3de graad ASO - vrijdag 24 maart 2006

Antwoord

Dag Steven,
Het probleem dat je stelt, vereist een niet direct voor de hand liggende aanpak.
Vermoedelijk heb je gewerkt met y-y₁ = m(x-x₁) als vergelijking van de rechte.
Dat geeft inderdaad een niet al te gemakkelijk op te lossen vergelijking.
Omdat de uitwerking nogal wat subscripts (indexen) en superscripts (kwadraattekens) vraagt, heb ik de oplossing maar in een bestand geplaatst (zie hieronder).
Voordat je die oplossing bekijkt, zou je eerst zelf eens kunnen proberen uit te gaan van
y = mx + q
als vergelijking van de rechte lijn.
Omdat (x₁,y₁) daarop ligt, geldt:
q = y₁- mx₁
maar die relatie moet je echter tot het laatst bewaren.

Succes,

Zie Oplossing (PDF-bestand; ca. 77 kB)

zaterdag 25 maart 2006

©2001-2024 WisFaq