\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Restterm van Lagrange

Beste Wisfaq,
Boven aan pagina 3 van Dick Klingens's pdf wordt in een aantal stappen bewezen dat Lim(|Rn|)=0 voor n®¥. Een probleem is echter dat ik deze stappen niet geheel volg. Zouden jullie hier misschien enige duidelijkheid in kunnen verschaffen?
mvg

Rogier
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 16 maart 2006

Antwoord

We nemen een vaste x. Bij iedere n bestaat een q tussen 0 en 1 (afhankelijk van n) zó dat Rn(x)=eqxxn+1/(n+1)!. Als x=0 dan eqx=1 en als x=0 dan eqxex, dus we kunnen eqx onafhankelijk van n afschatten met de vaste waarde M=max{1,ex}. Daarmee volgt dus dat |Rn(x)|=M|x|n+1/(n+1)!. Neem vervolgens een natuurlijk getal N dat groter is dan |x| en splits, voor n=N de teller en noemer van die afschatting in twee factoren: M|x|N×|x|n+1-N en N!×(N+1)×...×(n+1). Hiermee splits je de afschatting zelf, als volgt: eerste factor: M×(|x|N/N!) (deze is vast, want N is vast) en tweede factor: (|x|/(N+1))×(|x|/(N+2))×...×(|x|/(n+1)). Dit kunnen we afschatten met (|x|/(N+1))n+1-N. Alles bij elkaar hebben we |Rn(x)| afgeschat met een constante maal (|x|/(N+1))n+1-N; de limiet van de laatste uitdrukking (voor n naar oneindig) is 0, dus lim Rn(x) is ook 0.

kphart
vrijdag 17 maart 2006

©2001-2024 WisFaq