Vraag over integreren

Ik ben nu een poosje bezig met integreren, en nu kwam ik bij de volgende integraal:

ò(2x+1)/(x²+x+1)dx

deze heb ik als volgt opgelost:

u =x²-1
du =2xdx

wordt dus:

1/2òdu/u = 1/2 ln (u) + C
= 1/2 ln (x²-1) + C

Dit antwoord klopt.

Nu heb ik de volgende integraal:

òeÙ3x+5dx

Hier heb ik van gemaakt:

u = 3x+5
x = u/3-5/3
dx= 1/3 du

nu mijn vraag: Waarom zet je bij de tweede de u om naar x, en bij de eerste niet? Komt dit omdat je bij de eerste met 2 componenten te maken hebt (de teller en de noemer) en bij de 2e niet? Ik weet wel hoe ik het moet doen, maar ik zie niet waarom ik het moet doen.

Ik hoop dat jullie me dat uit kunnen leggen want op school wordt ik ook niet veel wijzer.

mvg Stefan Gooijert

Stefan
Student hbo - maandag 9 januari 2006

Antwoord

Beste Stefan,

In je eerste opgave volg je wel een goede methode, maar het antwoord klopt niet! Dat kan je makkelijk zien door je resultaat af te leiden, je moet dan terug je integrand bekomen. De substitutie die hier werkt is u = x²+x+1 Û du = 2x+1. Hierdoor gaat de integraal over in òdu/u met als primitieve, na terug substitueren, ln|x²+x+1| + C.

Je had dit ook zonder substitutie kunnen zien, de teller is namelijk de afgeleide van de noemer en voor dat type geldt dat een primitieve functie de ln van de noemer is.

Dan voor de tweede opgave, voor alle duidelijkheid, de integraal is dus:

òe^3x+5 dx

Je substitutie kan dat inderdaad u = 3x+5 zijn, differentiëren levert dan du = 3dx. Maar je hebt helemaal geen 3dx! Geen probleem, want du = 3dx Û 1/3 du = dx, dus we voeren gewoon een factor 1/3 in.
De reden waarom dat bij de vorige substitutie niet moest is omdat de uitdrukking die we door differentiëren nog bij dx kregen (dat was toen 2x+1) ook al netjes in onze integraal voorkwam, dat verdween dus met de dx voor de substitutie naar du.

mvg,
Tom

maandag 9 januari 2006

©2001-2024 WisFaq