Bewijzen dat een oneindig cyclische groep isomorf is

Hallo, ik moet hier een klein bewijs leveren dat als 'G=$<$g$>$' groep is en oneindig is, en cyclisch is, dat deze isomorf is met $\mathbf{Z}$

men definieerd een functie u: Z$\to$G
k$\to$g^k

ik heb al bewezen dat dit een homomorfisme is, en dat dit surjectief is: voor surjectief was ik niet 100% zeker

Voor alle 'x' element van G bestaat er een k element van Z met x = g^k (g is cyclisch) en dus is x=u(k) , hiervoor is de functie surjectief.

Voor de injectiviteit weet ik het niet zo goed, ik moet dus bewijzen dat U(x₁)=U(x₂) $\Rightarrow$ x₁=x₂

Hoe zou ik hieraan beginnnen? wan ik heb het gevoel dat ik iets met de kern van U moet doen.

Bedankt

winny
Student universiteit België - vrijdag 6 januari 2006

Antwoord

Inderdaad, je moet bewijzen dat de kern uit alleen het punt 0 bestaat.
Stel k is niet 0 en stel u(k)=e. Dan kun je bewijzen dat u(n+k)=u(n) voor alle n en daaruit volgt dan dat G={e,g,g², ...,g^k-1}. Maar dan zou G eindig zijn ...
Je bewijs van de surjectiviteit is correct.

kphart
zondag 8 januari 2006

©2001-2024 WisFaq