Probleem met integreren

Goedenavond,

Ik heb gisteren ook al een vraag gesteld over de volgende inegraal:

ò1/ax+b

Het antwoord hierop moet zijn 1/a ln ax + b

Gisteren heb ik het antwoord gekregen dat deze hiervoor moet staan om de kettingregel op te heffen: de afgeiede van ln ax+b = a/ax+b
De 1/a heft de a i nde teller dus op.

Mijn probleem is nu, hoe kom ik via een berkening tot die 1/a ln ax+b?

m.a.w. hoe kan ik een soortgelijke integraal berekenen zonder dat ik zoals nu eerst het antwoord weet? hoe kom ik tot dit antwoord?

Alvast bedankt, Stefan Gooijert

Stefan
Student hbo - woensdag 4 januari 2006

Antwoord

Beste Stefan,

Zoals WvR je liet zien is die 1/a nodig omdat er bij afleiden (door de kettingregel) een extra factor a komt die dus opgeheven moet worden.
Uiteraard is het ook mogelijk tot deze 1/a te komen zonder het (foute) resultaat af te leiden en dan te kijken hoe je dat kan corrigeren. WvR had je eigenlijk al de aanzet gegeven, je lost de integraal op via substitutie.

De standaardprimitieve van 1/x is ln|x| (+C), maar er staat hier niet 1/x maar 1/(ax+b). We hebben ò1/(ax+b) dx en gaan een substitutie uitvoeren.
Stel ax+b = y. Je moet echter ook de dx vervangen dus zoeken we ook een uitdrukking voor dx, daarvoor lossen we onze vergelijking van de substitutie eerst op naar x nemen dan de differentiaal van beide leden. Dit geeft:

ax+b = y Û x = y/a - b/a Û dx = d(y/a - b/a) = 1/a dy

Dus: ò1/(ax+b) dx = ò1/y 1/a dy = 1/a ò1/y dy = 1/a ln|y| + C = 1/a ln|ax+b| + C

Zie ook: Primitiveren

mvg,
Tom

woensdag 4 januari 2006

Re: Probleem met integreren

©2001-2024 WisFaq