Van impliciete algemene oplossing naar expliciet

Hallo :)
Wij hebben een korte uitleg gekregen over (simpele) differentiaalvergelijkingen en beginwaardeproblemen. Bij het maken van een van de opgaven, liep ik tegen het volgende probleem aan:

dy/dx = (1+y)
y(0)=5

Het verzoek is natuurlijk om dit beginwaardeprobleem op te lossen.

ò1/(1+y) dy = ò dx
ln |1+y| = x + C
e^ln|1+y| = e^x·C

Voor C vind ik een waarde van -ln6.
Hoe moet ik y nu expliciet maken?
Vr.gr.
Wouter

Wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 oktober 2005

Antwoord

Beste Wouter,

Je oplossing is goed maar op het einde kunnen we dat nog wat vereenvoudigen. Zo neem je net de e-macht zodat die weg zou vallen tegen de ln, om y expliciet te kunnen schrijven. Bovendien is e^xc = e^ce^x waarbij e^c zelf ook gewoon een constante is, meestal vervangen we dat dan door een nieuwe c. Je vindt dus, door de laatste regel te vereenvoudigen:

e^ln|1+y| = e^cx
1+y = ce^x
y = ce^x - 1

Kan je nu c zelf bepalen door y(0) = 5 te gebruiken?

mvg,
Tom

woensdag 19 oktober 2005

©2001-2024 WisFaq