Verschillen kwadraatgetallen
Het is me opgevallen dat elk natuurlijk kwadraatgetal (dus p2, waarbij pÎ ) een verschil heeft met het voorgaande kwadraatgetal.
beetje vage omschrijving, maar wat ik bedoel is:
02=0
12=1 verschil met 02=1, verschil is te schrijven als p+0
22=4 verschil met 12=3, verschil is te schrijven als p+1
32=9 verschil met 22=5, verschil is te schrijven als p+2
42=16 verschil met 33=7, verschil is te schrijven als p+3
52=25 verschil met 42=9. verschil is te schrijven als p+4
62=36 verschil met 52=11, verschil is te schrijven als p+5
72=49 verschil met 62=13,verschil is te schrijven als p+6
82=64 verschil met 72=15,verschil is te schrijven als p+7
92=81 verschil met 82=17, verschil is te schrijven als p+8
102=100 verschil met 92=19, verschil is te schrijven als p+9
etc.
De verschillen klimmen op volgens de oneven getallen en steeds met verschil 2...
Wat is het bewijs hiervoor behalve dat het voor deze voorbeelden geldt? En is er ook zo'n regel voor elke pn, waarbij nÎ?
a
Student universiteit - zaterdag 20 augustus 2005
Antwoord
Iets algemener geformuleerd: De eerste verandering van een kwadratisch verband is lineair. Dat is niet zo lastig om te bewijzen:
Gegeven: f(x)=ax2+bx+c
Te bewijzen: f(x+1)-f(x) is een lineair verband
Bewijs: f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-{ax2+bx+c}=2ax+a+b
Voorbeeld
Neem f(x)=x2, a=1, b=0 en c=0. f(x+1)-f(x)=2x+1
x=5 bijvoorbeeld?
f(6)=36, f(5)=25, f(6)-f(5)=2·5+1=11. Klopt!
zaterdag 20 augustus 2005
©2001-2024 WisFaq
|