Integraal berekenen
òdx/(x2+1)3
Ik herken daarin wel een basisintegraal (die van Bgtg), maar daarvoor staat die exponent 3 natuurlijk 'in de weg'.
Ik probeerde al vanalles te substitueren en pastte ook al partiële integratie toe, maar tot nog toe allemaal zonder succes...
Kan iemand helpen?
Thx!
e
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 17 augustus 2005
Antwoord
Je kunt hier de methode van Ostrogradsky gebruiken.
Voor deze integraal stel je dan
òdx/(x2+1)3= (ax3+bx2+cx+d)/(x2+1)2 + ò(px+q)/(x2+1).dx
Neem nu van de twee leden de afgeleide :
1/(x2+1)3 = D(ax3+bx2+cx+d/(x2+1)2) + (px+q)/(x2+1)
Werk de afgeleide van de breuk uit en zet nu het rechterlid op gelijke noemer (x2+1)3.
Stel vervolgens de tellers van linker- en rechterlid aan elkaar gelijk.
Je bekomt dan
1 = p.x5 + (q-a).x4 + 2.(p-b).x3 + (3a-3c+2q).x2 + (2b-4d+p).x + (c+q)
Hieruit volgt :
p=b=d=0
q=a=3/8 en c=5/8
Dus
òdx/(x2+1)3 =
1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8òdx/(x2+1) =
1/8.(3x3+5x)/(x2+1)2 + 3/8.Bgtg(x) + c
donderdag 18 augustus 2005
©2001-2024 WisFaq
|