Juiste methode integreren

Beste WisFaq medewerker,

Ik zit verveeld met een vraag omtrent de juiste keuze van de integratie methode. Vaak zijn bij het oplossen van integralen meedere methodes mogelijk (bv. partiële integratie (p.i.) en substitutie).

BV: ò 3x²+4x/x³+2x² dx

Je kan deze oef. gemakkelijk oplossen met substitutie:
t=x³+2x²
dt=3x²+4x dx
enz.
= oplossing: ln /x³+2x²/ + c

Maar wat ik zou doen als ik de oefening voor het eerst zie is splitsen in partieelbreuken, aangezien het een rationale functie is en graad teller graad noemer.

Ik heb het twee maal geprobeerd (1 maal met eerst x te schrappen uit beide veeltermen en 1 maal zonder schrappen). Nooit kwam ik 'ln/x³+2x²/ + c' uit. Ben ik telkens fout of zou het kunnen dat (één van) mijn oplossingen toch correct is maar anders geschreven is?

Moet de oplossing met de substitie-methode precies hetzelfde zijn als de oplossing gevonden door breuksplitsen? Het kan mischien hetzelde zijn maar anders geschreven? Kan je dat controleren door een willekeurig getal in te vullen voor x?

Ik hoop dat mij vraag duidelijk genoeg is.

Alvast bedankt

Tanguy
Student Hoger Onderwijs België - maandag 20 juni 2005

Antwoord

Beste Tanguy,

Uiteraard check je bij dit soort integralen altijd eerst even of de teller niet toevallig de afgeleide van de noemer is, dan krijg je gewoon ln van de noemer als primitieve. Stel dat je dit toch vergeet of dat het net niet uitkomt, dan ben je aangewezen op een algemene methode voor integralen van veeltermbreuken.

We hebben dus (3x²+4x)/(x³+2x²). Een gemeenschappelijke factor x kan je in teller en noemer schrappen, dan hou je over: (3x+4)/(x²+2x)

Dit kan je splitsen in: 1/(x+2) + 2/x.
Integreren hiervan geeft: ln|x+2| + 2ln|x| + C

Uit de eigenschappen van logaritmen volgt echter dat 2ln|x| ook gelijk is aan ln|x²|. Verder geldt ook log|x| + log|y| gelijk is aan log|xy| zodat we krijgen: ln|x+2| + 2ln|x| = ln|x+2| + ln|x²| = ln|x²(x+2)| = ln|x³+2x²|

Dit is opnieuw de oorspronkelijke oplossing.

Verder wil ik nog vermelden dat, afhankelijk van de integratie-methode, je inderdaad verschillende primitieve functies kan vinden die uiteraard wel gelijkwaardig zijn. Terug afleiden en kijken of je je opgave vindt is een manier om te controleren

mvg,
Tom

maandag 20 juni 2005

©2001-2024 WisFaq