Vraag met betrekking tot integraal vergelijking

Vraag 1:
gegeven is de functie f(x)=1+2cos(1/4x)
voor welke waarde van b is de integraal 0òb (1+2cos(1/4x))dx gelijk aan de oppervlakte ingesloten door de y-as, de x-as en de grafiek van f?
Het antwoord is 2.2/3p, maar hoe kom je daar aan?

Vraag 2:
Geef de primitieve van de volgende functie
h(x)=(6x)²·5x
Ik denk dan: h(x)=36x²·5x dus de primitieve is 12x³·2.5x² want daarvan is de afgeleide 36x²·5x
Het antwoord is volgens het boek 45x⁴ , is dat hetzelfde als 36x²·5x, zo ja, hoe kom je daaraan?

vraag 3:
Geef de primitieve van de volgende functie
g(x)=(x³+2x-3)/Öx

Dus g(x)=(x³+2x-3)/x^1/2
En 1/(x^1/2)=x^-1/2
Dus dan is de breuk weg, maar wat houd je dan over?
misschien krijg je dan g(x)=(x³+2x-3)·x^-1/2

Als je dat verder uitwerkt krijg je g(x)=x^2.1/2+2x^-1/2-3x^-1/2 ongeveer, want ik weet dat dit niet klopt. Hoe klopt hij wel?

En hoe kom ik dan uiteindelijk bij de primitieve: (2/7x^4+4/3X^2-6x)/Öx
Het lijkt erop dat ik veel te moeilijk denk en dat je veel makkelijker op het antwoord kan komen, alhoewel ik die breuken die in de teller staan een beetje vreemd vind. De afgeleide van 2/7x^4 = 8/7x^3 en dat staat niet in de originele formule.

Veel dank aan degene die mij kan helpen met deze drie vragen.

Ronald
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 11 mei 2005

Antwoord

Beste Ronald,

1) Het is een periodieke functie, bereken het eerste nulpunt van de functie.
Stel: 0 = 1 + 2cos(x/4) = -cos(x/4) = 1/2 = cos(p-x/4) = 1/2 = p-x/4 = p/3 (+2kp) Ú p-x/4 = -p/3 (+2kp).

Uit de vetgedrukte vgl volgt het eerste nulpunt, namelijk op x = 8p/3.

2) Je uitwerking van zowel de integraal als de afgeleide kloppen niet omdat je dat niet factor per factor mag doen! Integreren en afleiden zijn wel lineair, dus term per term mag in een som maar voor een product geldt dan niet!

Het lijkt me makkelijker het product gewoon uit te rekenen...
h(x) = (6x)²*5x = 36x²*5x = 5*36*x³
= òh(x) dx = 5*36*òx³ dx = 5*36*x⁴/4 +C = 5*9*x⁴ +C = 45x⁴ +C

3) Je doet het inderdaad goed door die wortel even als macht te beschouwen. Eventueel de breuk wegwerken kan ook, en dan gebruik je dat je bij een product de exponenten mag optellen, en je integreert term per term:

ò(x³+2x-3)*(x^-1/2) dx = òx³*x^-1/2 dx + 2òx*x^-1/2 dx - 3òx^-1/2 dx

Gebruik nu dat x^a*x^b = x^a+b om bij elke integraal slechts één macht in x te krijgen en integreer dan de 3 stukken. Daarna kan je eventueel weer alles samenbrengen

mvg,
Tom

woensdag 11 mei 2005

©2001-2024 WisFaq