Schatten, hoe doe je dat? (vraag 22)

HEy, over een maand krijg ik een rep. over kansen, en wiskunde is niet mijn beste vak. Daarom besteed ik er ook extra aandacht aan. Ik was even oefenen in het boek "Schatten, hoe doe je dat?" en kwam bij het volgende vraag:
2.2a)De schatter S geeft de uitkomst 45 als X(1)+X(7)= 46 (dus het eerste term + het laatste). Dat kan op verschillende manieren, bijv. x(1)=1 en X(7)=45 of x(1)=2 en x(7)=44 enz. Laat zien dat P(X(1)=1 en X(7)=45)= (43 ncr 5)/ (45 ncr 7) en bereken ook p(X(1)=2 en X(7)=44).
2.2b) Beredeneer dat P(S=44) en P(=46) gelijk zijn. GA na dat ook P(S=43) en P(S=47) gelijk zijn. We zien dat S symmetrisch verdeeld is rond de warde 45. GEvolg: E(S)=45.
Ik kom er echt niet uit en snap er echt helemaal niets van. Alvast hartstikke bedankt voor jullie hulp bij beide vragen

pegman
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 3 april 2005

Antwoord

Hallo pegman, (leuke naam)
Dat zijn inderdaad een beetje lastige vragen, zeg maar gerust doordenkertjes.
Het gaat dus gewoon over de lotto 7 uit 45. Er zijn (45 boven 7) mogelijke grepen van 7 uit 45 die allemaal even waarschijnlijk zijn. Daar zijn we het over eens.
Het geval dat de kleinste X(1) = 1 en de grootste X(7) = 45 doet zich voor bij alle grepen van 7 waarbij de nummers 1 en 45 getrokken zijn plus nog 5 andere nummers. Die 5 andere nummers kunnen dan op (43 boven 5) manieren gekozen worden uit de nummers 2 t/m 44. Dus kans op dit resultaat : (43 boven 5) / (45 boven 7)
Op dezelfde manier als de kleinste 2 en de grootste 44 is dan komen de 5 andere nummers uit 3 t/m 43. Dat gaat op (41 boven 5) manieren, dus kans daarop is (41 boven 5)/ (45 boven 7)
Dan nog de vraag waarom P(S= 44) = P(S=46)
Het gaat om de symmetrie van de kansverdeling van S. Dus dat twee uitkomsten die symmetrisch tov 45 liggen (die dus samen 90 zijn) altijd dezelfde kans hebben.
Voor iedere lottobal geldt 1 heeft zelfde kans als 45, 2 als 44, 3 als43 etc
Zet op iedere bal naast het zwarte nummer dat er al opstaat met viltstift een rood nummer het zg contra nummer: naast de zwarte 1 een rode 45, naast de zwarte 2 een rode 44 etc.. t/m naast de zwarte 45 een rode 1. Het rode en het zwarte nummer op een bal zijn dus altijd samen 46.
Nu zie je het al aan komen. Of je nu het hele spel speelt met de zwarte nummers of met de rode nummers dat is natuurlijk lood om oud ijzer.
Als je met de zwarte nummers bv X(1) = 6 en X(7) = 38 (en dus S = 43) krijgt, dan heb je met de rode nummers X(1) = 46 – 38 =8 en X(7) = 46 –6 =40 (en dus S= 47) en zo krijg je bij iedere greep van 7 ballen een zwarte S-waarde en een rode S-waarde en die twee zijn altijd samen 90.
Ik hoop dat het zo duidelijk is.
Groeten en veel succes

JCS
zondag 3 april 2005

©2001-2024 WisFaq