\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

11110000

bewijs dat er voor elke n (ÎN) een getal van de vorm 111...1000...0 bestaat met p (p1) eentjes en q (0) nulletjes dat deelbaar is door n.

dirk
2de graad ASO - zaterdag 26 maart 2005

Antwoord

Hallo Dirk,

Bekijk eens de rij van getallen: 1, 11, 111, 1111, 11111, ...

En bekijk dan telkens van deze rij de rest bij deling door n. Bijvoorbeeld, als n=7 dan wordt de rij:
1, 4, 6, 5, 2,...

Nu kunnen die resten allemaal alleen maar 0,1,2,...,6 zijn, in het algemeen 0, 1, 2, ..., n-1.

Dus kan het niet anders dan dat er een rest meer dan één keer voorkomt in die (oneindig lange) rij. Dit betekent dat er een getal met k enen bestaat, en een getal met l enen, die dezelfde rest hebben bij deling door n.

Trek deze twee van elkaar af (het grootste min het kleinste). Welke vorm heeft dit verschil? En wat is de rest bij deling door n? Voilà, bewijs geleverd...

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 26 maart 2005

©2001-2021 WisFaq